求數列通項公式的常用方法

張國慶

摘要：數列是高中數學的核心內容之一，而求數列的通項公式又是數列知識的關鍵，其常用方法有：觀察法、定義法、疊加法、疊乘法、歸納猜想法、待定系數法、倒數法、公式法、等方法。

關鍵詞：數列；觀察法；定義法；疊加法；疊乘法；歸納猜想法；待定系數法；倒數法；公式法等

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）09-0135-02

數列是高中數學教材中的重要內容，它與高中數學的其他知識有著緊密的聯系，具有較強的綜合性和實用性。而求數列的通項公式又是數列的核心內容之一，它如同函數中的解析式一樣，函數有了解析式便可研究其性質等，而數列有了通項公式便可求出任意一項以及前N項和等，因此，求數列的通項公式往往是解題的突破口，關鍵點；同時，由數列的遞推公式求數列的通項公式又能很好地鍛煉學生的分析、判斷能力，加強學生對知識因果關系的思考，培養學生的觀察、思維能力，體現數學的魅力，提高學習數學的興趣。為此我在這里談談求數列通項公式的幾種常見的方法，不到之處，敬請廣大同仁批評指正。

一、觀察法

例1：根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）變形為：101-1，102-1，103-1，104-1，……

∴通項公式為：10n-1

（2）變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，……，

∴通項公式為：1/2n-1

觀察法就是要抓住各項的特點，與常見的數列形式相聯系進行變形，探索出各項的變化規律，從而找出各項與項數n的關系，寫出通項公式。

二、定義法

例2：已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數列，若函數f（x）=（x-1）2，且a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1），求數列{an}和{bn}的通項公式；

解：（1）∵a1=f（d-1）=（d-2）2，a3=f（d+1）=d2，

∴a3-a1=d2-（d-2）2=2d，∴d=2，

∴an=a1+（n-1）d=2（n-1）；

又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q-1）=（q-2）2，

由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b·qn-1=4·（-2）n-1

當已知數列為等差或等比數列時，只需求得首項及公差或公比，可直接利用等差或等比數列的通項公式的定義寫出該數列的通項公式。

三、疊加法

例3：已知數列6，9，14，21，30，…求此數列的一個通項。解：已知a2-a1=3，a3-a2=5，…，an-an-1=2n-1，…各式相加得：an-a1=3+5+…+（2n-1）=n2-1

∴an=n2+5n

對于可表述成為an-an-1=f（n）的形式的數列，即可通過疊加的方法消去a2至an-1項，從而利用的已知求出。

四、疊乘法

例4：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式

解：∵（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，可分解為[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0 又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an≠0，∴（n+1）an+1-nan=0，由此得出：a1=2a2，2a2=3a3，…，（n-1）a（n-1）=nan，這n-1個式子，將其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=■，∵n=1也成立，∴an=■（n∈N*）。

對于相鄰的兩項有確定的比例關系的遞推式，可以通過疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類數列的通項公式。

五、歸納、猜想法

如果給出了數列的前幾項和能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然后再用數學歸納法證明之。

例5：已知數列{an}滿足a1=1，Sn=■an，求通項an.

解析：由a1=1，當n=2時，a1+a2=■a2，a2=2a1=2，當n=3時，a1+a2+a3=2a3

a3=3，同理可得a4=4，…猜想得an=n，下面用數學歸納法證明。

（1）當n=1，2，3時，已驗算成立，（2）假設n=k時，猜想成立，即ak=k，當n=k+1時，Sk+1=■ak+1，又Sk+1=■ak=■，二式相減，得ak+1=■ak+1-■∴ak+1=k+1，即n=k+1時猜想也成立，由（1）（2）知對于一切自然數n都有an=n.

這類題的關鍵是通過首項和遞推關系式求出數列的前n項，再猜出數列的通項公式，進而用數學歸納法求出數列的通項公式。

總之，數列是初等數學向高等數學過度的橋梁，而求數列的通項公式又是學好數列知識的關鍵，它具有很強的技巧性。但是由于同學們在剛剛接觸數列知識時，對求數列的通項公式沒有系統的方法，常常感覺無從下手，需要教師和學生共同努力，共同思考，不斷的完善求數列通項公式的方法和技巧，開拓思維，創新學習，逐步樹立學好數學的信心，提高自身的數學素養，并能融會貫通的運用到其他的知識學習中去。