手持GPS測量面積變形誤差研究＊

路 琪，景 欣，勾志陽，錢 旭，晏 磊

（1.中國礦業大學（北京）機電與信息工程學院，北京100083；2.北京大學空間信息集成與3S應用北京市重點實驗室，北京100087）

0 引 言

GPS采用空間距離后方交會的方法確定待測點的位置。并已廣泛應用于測繪、軍事、交通、郵電、地礦、煤礦、石油、建筑、氣象、公安、農業、林業等部門和行業［1］。手持GPS具有簡單、便攜的特點，在測量面積方面也有很多應用［2－4］。手持GPS測量面積是采用向量積方法計算面積，這就需要先將WGS－84坐標轉換為高斯平面直角坐標，然后以平面直 角 坐 標 求 解 面 積［5－7，8－10］。 由 于 高 斯 平 面直角坐標選擇直角坐標系中央子午線離所測地區距離越遠，誤差就會越大。手持GPS的面積計算功能并沒有考慮這些誤差。以GARMIN vista型GPS為例，探討面積測定的方法，并對其精度進行評價，分析誤差出現的原因，為此類GPS提供參考。

1 原理與方法

1.1 向量積求面積原理

對于不自交的多邊形，可以利用向量積的方法求面積。向量積也被稱為叉積，叉積的長度｜a×b｜可以解釋成以a和b為邊的平行四邊形的面積。a×b的方向滿足右手法則，順時針方向為負方向，逆時針方向為正方向，所以計算面積需要取絕對值［5］。

圖1 向量積求多邊形面積

如圖1所示，在多邊形ABCDE所在平面任取一點，為方便取原點O，則多邊形ABCDE的面積

1.2 高斯平面直角坐標

由于地球面是不可展曲面，若簡單地將曲面拉平，必然產生裂口和褶皺。采用投影的方法來確定地球面與平面上點位之間一一對應的關系，就能解決地球面不能直接展開的矛盾。但這必然會產生投影變形［11］。

設想一個平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖2所示。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為縱坐標軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標軸，用y表示，兩軸的交點作為坐標原點，由此構成的平面直角坐標系稱為高斯平面直角坐標系。每一個投影帶都有一個獨立的高斯平面直角坐標系［11］。

圖2 高斯投影

高斯投影是正形投影，沒有角度變形，在中央子午線上也沒有長度變形，但不在中央子午線上的各長度比均大于1，且距離中央子午線越遠，變形越大。

設地球上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），A與B的中點C（xm，ym），設大地線長為s，兩投影點間的直線長度為d，地球平均半徑為Rm，Δy＝y2－y1.如圖3所示，則有高斯投影距離改化公式

圖3 高斯投影距離改化

WGS－84與北京54坐標系是一種橢球參數的轉換。作為這種轉換在同一個橢球里的轉換都是嚴密的，而在不同的橢球之間的轉換是不嚴密的［12］。

1.3 測定方法

利用GPS測定面積

1）測定各航路點的經緯度，轉換為高斯平面直角坐標后再利用向量積法計算面積。

2）進入GPS的航線畫面，將通過環繞所測場地邊界航路點組成航線，用GPS的“航線面積”功能來求得面積。

3）用GPS所測面積與計算面積比較，確定手持GPS測定面積的精度范圍［1－2］。

2 測量儀器與實驗方法

2.1 測量儀器

GARMIN vista型GPS，其主要性能為定位頻率每1s一次；誤差5～25m以內；內置GPS天線，標準RS－232接口。可以存儲1 000航路點、20條航線。

2.2 實驗方法

GPS需要同時能夠接收到4顆衛星信號。為了測量數據的穩定性，選擇比較開闊的場地進行實驗。這里選擇了未名湖湖心島進行實驗。繞行湖心島一周，在拐點記錄下航路點坐標，并使用MAPSOURCE軟件將數據從手持GPS中導入計算機。航路點組成的航線可以直接在手持GPS中測量航線所圍區域的面積。

3 結果與分析

3.1 實驗結果

1）使用GPS分別測量10個航路點、記錄坐標值，構成一個閉合導線；這10個航路點需要在同樣條件下多次測量取平均值。2）使用手持GPS自帶“航線面積”功能計算測量結果坐標組成區域的面積。3）向量積法計算面積。將測量結果坐標轉換為直角坐標后代入式（1）中，計算面積。

測量坐標結果如表1所示。

手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果為4 351.669m2.

用公式（1）計算面積需要將WGS－84坐標轉換為高斯平面直角坐標。實驗所測地區中央子午線為E117°，計算面積為4 342.12m2.與手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果相比，相對誤差為0.22%.

表1 GPS所測各航路點坐標（未名湖湖心島）

3.2 實驗分析

由于高斯平面直角坐標選擇直角坐標系中央子午線離所測地區距離越遠，誤差就會越大。使用向量積方法求面積只需要相對坐標即可，選取的經線越靠近這10個點越精確而需要刻板地選擇中央子午線，選為經過湖心島中心附近的116.303 2°是最接近的。選取經線與計算的面積如圖4所示。

圖4 湖心島面積與經線設置

當選取子午線116.303 2°時計算面積為4 341.74m2，當選取子午線117°時計算面積為4 342.12m2，當選取子午線120°時計算面積為4 352.40m2.手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果與選定中央子午線為120°所計算面積相吻合。

以子午線116.303 2°為基準，GPS所帶面積計算功能所測面積與用公式（1）計算面積相比較，相對誤差為0.23%.這是由于高斯投影長度變形的原因。

如圖5所示，用公式（1）測量目標區域A′BC的面積，由于地球曲率的影響，實際所計算的卻是區域A＇BC的面積。

圖5 面積變形與距離變形成正比

由于高斯投影在子午線方向沒有長度變形，而高斯投影距離改化只與緯線方向參數y有關，所以在計算面積時，可以把所測區域按子午線方向分割成小塊，這樣立刻得出結論面積變形與距離改化成正比例關系。

即

相對誤差為

設所測區域東西長度為u，所設經線距離所測區域最遠點距離為v，以圖3為例，則u＝Δy，v＝將地球平均半徑Rm＝6 370km代入式（4）中，使用Matlab繪制誤差曲面圖，如圖6所示。

圖6 面積誤差曲面圖

由此可見，所選定經線距離所測區域越遠，誤差越大；所測區域越大，產生的誤差越大。而區域ABC的面積修正函數

由式（5）可計算實際面積與所測面積關系曲面關系如圖7所示。

測量目標區域距離120°，經線v＝315.35km，目標區域的東西最大長度u＝0.09km，以120°子午線為準計算面積為4 352.40m2，代入方程（4）和（5）中，得

測量目標區域距離117°，經線v＝59.52km，以117°子午線為準計算面積為4 342.12m2，代入方程（4）和（5）中，得

如圖8所示。

圖8 修正曲線

3.3 實驗驗證

使用相同的實驗方法在北大靜園做了一次實驗。繞行靜園一周，在拐點記錄下航路點坐標，并使用MAP SOURCE軟件將數據從手持GPS中導入計算機。航路點組成的航線可以直接在手持GPS中測量航線所圍區域的面積。測量面積為3 655.604m2.如表2，3所示。

表2 GPS所測的各航路點坐標（靜園）

表3 靜園面積計算與修正

結果表明面積修正減小了誤差。

4 結 論

分析了手持GPS測量面積的功能在坐標轉換中產生的誤差。原點（中央經線）距離所測區域越遠，產生的誤差越大；所測區域越大，產生的誤差越大。所以應該對所計算結果加以修正，修正函數S或者在坐標轉換時不刻板的選擇中央子午線而是選擇所測區域的平均經度，這樣可以減小面積變形產生的誤差。

為了得到比較精確的坐標，可以在測繪部門提供的坐標對手持GPS進行校正，再用GPS在同一點多次測量取平均的做法［13］。

若所測區域比較大時，可以采用分區域計算的方法。

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