談對學生數(shù)學思維和數(shù)學能力的培養(yǎng)

摘要：數(shù)學具有抽象性、邏輯性和應用的廣泛性，正是這三種特性決定了數(shù)學在當今社會處于統(tǒng)治地位，“一切技術，說到底包含著一種數(shù)學技術”。因此，數(shù)學教學，一方面是知識的教學，另一方面是思想方法的教學，而且后者更為重要。無論是理工科的學生還是文史科的學生，用數(shù)學的思想武裝起自己的頭腦，將會對自身綜合素質的提高起到關鍵性的作用，將會對你的創(chuàng)新能力、適應社會的能力以及其他方面的能力的提高起到積極的作用。

關鍵詞：數(shù)學思維；數(shù)學能力；數(shù)學教育技術

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）05-0127-03

數(shù)學學習的效果和質量，不僅表現(xiàn)在學生深刻而又牢固地掌握系統(tǒng)的數(shù)學學科的基礎知識和基本技能，而且還表現(xiàn)在通過教學發(fā)展學生的數(shù)學思維和提高他們的數(shù)學能力。而數(shù)學這門自然科學，由于其自身的特點，它的邏輯體系，以及各部分之間的層次關系，極大地影響著學生思維的發(fā)展和能力的提高。

一、何謂數(shù)學思維和數(shù)學能力

所謂數(shù)學思維是指人腦對事物的本質和事物之間規(guī)律性的反映在數(shù)學中的具體體現(xiàn)。它是數(shù)學認識活動中的核心成分，是對客觀現(xiàn)實中數(shù)量關系和空間形式的概括、間接的反映。數(shù)學思維過程，是通過分析綜合而在頭腦中獲得對客觀現(xiàn)實數(shù)量關系和空間形式全面、本質的反映過程。在分析綜合過程中，運用比較來確定事物之間的異同和關系，在此基礎上，概括出具有某些特征的事物，而抽出某種事物的屬性或特征，使它們在思想上和事物本身的其他特征隔離開來，這就是抽象。數(shù)學思維的發(fā)展就是數(shù)學抽象和概括能力的發(fā)展。

思維活動的好壞與思維的素質有直接關系，例如，一道可以一題多解的數(shù)學題，在學生解題的思維活動中，能否順利地找到不同的解法，就與學生是否具有良好的素質有關。這些素質主要包括：思維的靈活性、思維的獨創(chuàng)性和思維的深刻性。其中，思維的靈活性表現(xiàn)為順利地從一種解法轉移到另一種解法，從已知因素中找出新的因素，從已知條件中迅速確定出解題方案，注意力能夠靈活轉移，能舉一反三。思維的獨創(chuàng)性，表現(xiàn)在不僅善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，思考問題，更重要的是獨立解決問題。比如，有一種解法需要適當引入一個輔助函數(shù)才能找到，但是這個輔助函數(shù)能否找到就和學生的思維是否具有獨創(chuàng)性有關。思維的深刻性，反映在思維過程中就是概括、歸納、邏輯抽象性強，善于抓住數(shù)學現(xiàn)象的本質。

所謂數(shù)學能力是指一個人順利地完成數(shù)學活動的一種個性心理特征。從心理學角度看，數(shù)學能力包括數(shù)學觀察能力、數(shù)學記憶能力、數(shù)學思維能力和想象能力，其中數(shù)學思維能力是數(shù)學能力的核心，數(shù)學思維能力的發(fā)展直接影響著數(shù)學能力的發(fā)展。

二、如何發(fā)展學生思維，提高數(shù)學能力

從現(xiàn)代觀點來看，隨著社會的飛速發(fā)展，知識要不斷更新，每個人都需要不斷學習，補充自己，以適應不斷變化的形勢。因此，學習不僅僅是在理解的基礎上掌握和記憶所學的知識，更重要的是掌握探索和解決所要認識的問題的方法。這種素質的獲得要與基礎知識的教學緊密地結合起來，從學習大量的知識內容中去獲得思想方法，發(fā)展能力，從反復的練習中學會運用這種思想方法和發(fā)展能力，這就是為什么在數(shù)學教學方法和形式中賦予習題以特殊的地位的原因。因此，對教師而言，無論采取什么樣的教學手段，達到什么樣的教學目的，都必須選擇一些與教學大綱的學習內容有聯(lián)系的習題，使學生通過解題有效地掌握這些內容，從而形成數(shù)學思維能力和一定的思想素質。

三、如何培養(yǎng)學生的解題能力

加強數(shù)學學習中習題的地位和作用，一方面取決于習題的內容，另一方面也取決于解題的方法。因此，選題是至關重要的。在長期的教學工作中，注意做到以下幾點：

1.在一定的教學內容里，通過例題和相應的習題概括出某一類型題的共性，從而歸納出這類“基本題型”的解題思路、方法和解題技巧。而對一些復雜的數(shù)學問題，就要聯(lián)想到已經(jīng)解決的類似題目或者研究是否可以分解為某些“基本題型”。所以，在教學活動中，鼓勵學生積累各種解題方法。例如，在進行函數(shù)極限的教學中，讓學生練習這樣一些題目：

（1）■（■-■）；（2）■■；（3）■■

從中概括出函數(shù)f（x）在x0點沒定義的一類極限問題，這類題目的通常做法是先將函數(shù)f（x）作適當?shù)暮愕茸冃位蚧e約分，或者分子有理化，從而轉化為可以求極限的函數(shù)。

2.在教學中，依據(jù)數(shù)學的互逆關系，注意向學生傳授運用逆向思維解決數(shù)學問題。所謂逆向思維，就是改變習慣性思維方式，把思維轉向原思維進程的相反方面。主要表現(xiàn)為：

（1）公式的逆用、變用；

（2）用逆運算代替原運算；

（3）用一個命題的等價命題代替原命題；

（4）引入未知量，把未知量當做已知量參加運算，最后消去或求出未知量。例如，拉格朗日中值定理是微分學中一個非常重要的定理，也是教學中的重點、難點，其中對輔助函數(shù)的引入是證明問題的關鍵。在最初的教學中，按照教材的編寫順序進行講解，結果學生反映，定理證明是懂了，但是如果讓自己去證，想不到會找這樣的輔助函數(shù)。針對學生提出的這個問題，對定理及其證明做了深入的思考，感覺如果從定理結論入手，采用逆向思維，一步一步往下推，直到與定理中的已知條件或已學過的知識相符，也許會找到輔助函數(shù)。具體做法如下：

畫出f（x）的圖形，并標明端點坐標A（a，f（a）），B（b，f（b））連接弦AB，定理結論可以變形為f'（ξ）=■，ξ∈（a，b）

上式左端恰好是弦AB的斜率，弦AB方程為y=f（a）+■（x-a）

對上式求導，得y'=■

于是有f'（ξ）=（f（a）+■（x-a））'或f'（ξ）-（f（a）+■（x-a））'=0

上式左端可以看成是函數(shù)ψ（x）=f（x）-f（a）-■（x-a）

在點ξ的導數(shù)，即ψ'（ξ）=0，ξ∈（a，b），而ψ（x）滿足羅爾定理條件，所以ψ'（ξ）=0成立。上述過程又可以逆推，定理很容易證得。這里的ψ（x）就是引入的輔助函數(shù)，這樣一分析，就會使人感到這個函數(shù)的引入很自然，很容易理解，學生也易于接受，同時又教給學生一種解決問題的思想方法，極大地激發(fā)了學生的學習積極性。

3.借助幾何直觀來處理數(shù)學中的推理論證問題，既開拓學生的解題思路，又將復雜、抽象的數(shù)學問題變得簡單明了，易于理解和掌握。

比如，在討論調和級數(shù)■■的斂散性時，考慮到該級數(shù)是連續(xù)函數(shù)f（x）=■，x∈[1，+∞）當x=1，2，…，n，…時相應的函數(shù)值之和，即

■■=f（1）+f（2）+…+f（n）+…

級數(shù)的部分和是Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）

先做出f（x）在（0，n+1]上的圖形，從圖形上可以看出，Sn恰好等于n個小矩形的面積之和，其中第i個小矩形是以f（i）為高，以區(qū)間[i，i+1]為底，i=1，2，…，n，而這n個小矩形面積之和又大于f（x）在區(qū)間[1，n+1]上的定積分，即Sn＞■■dx=ln（n+1）

由于■ln（n+1）=+∞，所以級數(shù)■■的部分和Sn不存在極限，級數(shù)■■發(fā)散。

4.在教學中注意采用一題多解的解題方法，來發(fā)展學生思維的靈活性、思維的深刻性和思維的開闊性。比如，計算曲線積分■（x2-y）dx-（x+sin2y）dy，其中L是圓周y=■上由（0，0）到（1，1）的一段弧。在計算此題時，學生很自然地會想到將圓周曲線表示成參數(shù)方程：x=x，y=■，x從0變到1，于是■（x2-y）dx-（x+sin2y）dy=■（x2-■-x-sin2■）dx

此積分計算很復雜，不易求得結果。這時，提示學生可不可以用其他方法去做。比如，積分與路徑無關，格林公式。在進行實際演算之后，學生發(fā)現(xiàn)此題用后兩種方法做比較簡單，特別是第二種方法。在這里，必須提醒學生注意后兩種方法的使用條件。通過這道題的計算，不僅使學生歸納總結出計算曲線積分的幾種常用方法，而且鍛煉了學生思維的靈活性和思維的開闊性。

四、數(shù)學教育技術的運用有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)

隨著計算機技術的普及與數(shù)學軟件的開發(fā)運用，在課堂教學中適當引入多媒體課件和實驗課教學這種新型的教學模式，凸現(xiàn)出傳統(tǒng)教學模式無法取代的優(yōu)勢，給看似枯燥無味的數(shù)學課堂帶來了無限生機和活力，具有非常重要的現(xiàn)實意義。

首先，借助多媒體技術講解極限的概念、積分的定義，畫出重積分中平面區(qū)域、空間區(qū)域，曲面積分中莫比尼斯帶的產(chǎn)生過程等，圖文并茂，充分展示數(shù)學的直觀意義，使學生對數(shù)學概念理解得更加深透，形象生動，形成一種多媒體課件、計算機輔助教學與傳統(tǒng)教學模式相結合的新型的教學模式，將傳統(tǒng)教學模式的優(yōu)點和現(xiàn)代教學模式的長處有機地結合起來，探索出一條繼承傳統(tǒng)教學模式精華，運用現(xiàn)代教育技術與理念，提升教學水平的新路。增加了課堂教學信息量，提高教學效率，創(chuàng)造了一種新型大課授課形式，同時，加強對學生數(shù)學素質與能力的培養(yǎng)，同時全面地提高教學質量。

其次，在掌握必要的數(shù)學基礎知識、基本理論、基本技能的前提下，學生在電腦里就可以完成求函數(shù)值、導數(shù)、定積分、級數(shù)，近似計算、誤差估計等數(shù)值計算，這些數(shù)學實驗將幫助學生理解數(shù)學分析中的一些難點，培養(yǎng)學生的動手能力，提高學生空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明等諸多方面的能力，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，數(shù)學表達與交流的能力，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

再次，數(shù)學教育技術的應用是課堂教學與多媒體教學的有機結合，學生可以根據(jù)教學進度、教學計劃，結合自身實際情況，制訂適合自己的學習計劃，這種交互式、遠程式、虛擬式教學方法，是對傳統(tǒng)的單項傳授、粉筆黑板式教學模式的不可阻擋的沖擊，有利于改變課堂教學中存在的種種弊端，真正把因材施教整合到數(shù)學學習中。