數學建模思想在中學數學中的應用

摘要：本文主要闡述了什么是數學建模，數學建模的分類，并重點探討針對中學數學解題方面，數學建模思想在中學數學教學中的應用。

關鍵詞：建模思想 中學 數學

數學建模在中學數學教學和解題中也有著非常重要的作用。因此，利用建立數學模型解決問題的數學建模教學從國外到國內，從大學到中學，越來越成為數學教育改革的一個熱點。 中學階段數學建模教學有它的特殊性，在中學階段，學生建模能力的形成是基礎知識基本技能、基本數學方法訓練的一種綜合效果，建模能力的培養主要是打基礎，但是，過分強調基礎會導致基礎與實際應用的分裂。如何把握分寸是一個值得探討的問題，同時也是我們教學的一個難點。該文對數學建模在中學數學中的應用進行了深入研究，探討了數學建模在培養學生能力和中學數學解題中的應用。

一、理論概述

1.數學模型定義

數學模型就是用數學語言和方法對各種實際對象作出抽象或模擬而形成的一種數學結構。廣義上的數學模型就是從現實世界中抽象出來的，是對客觀事物的某些屬性的一個近似反映。狹義上的數學模型就是將具體問題的基本屬性抽象出來成為數學機構的一種近似反映。數學模型有兩種基本功能：統一功能和普適性功能。

2.數學模型的分類

1）按模型的來源不同，可以分為：理論模型和經驗模型。

2）按研究對象所在領域，可以分為：經濟模型、生態模型、人口模型、交通模型等。

3）按建立模型所使用的數學工具，可以分為：函數模型、方程模型、三角模型、幾何模型、概率模型等。

4）按對研究對象的內部機構和性能的了解程度，可以分為：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

5）按模型的功能，可以分為：描述性數學模型和解釋性數學模型。

二、數學建模思想在中學數學解題中的應用案例

數學建模幾乎貫穿于整個中小學數學學習過程，小學數學的解算術應用題；中學數學的列方程解應用題；建立函數表達式及解析幾何里的軌跡等都蘊含著建模思想方法。

例1.解方程組 [x+y+z=1] （1）

[x2+y2+z2=1/3] （2）

[x3+y3+z3=1/9] （3）

分析：本題若用常規方法求，相當復雜。仔細觀察題設條件，挖掘隱含信息，聯想各種知識，即可構造各種等價數學模型來解決。

1.方程模型

方程（1）表示三根之和，由（1）、（2）不難得到兩兩之積的和[xy+yz+zx=1/3]再由（3）又可得三根之積[xyz=1/27]，由韋達定理，可構造如下三次方程模型，[x，y，z]恰好是其三個根

[t3-t2+t/3-1/27=0] （4）

方程（4）的三重根為[t=1/3]，所以方程組的解為：

[x=y=z=1/3]

2.函數模型

觀察（1）與（2）兩邊的特征及聯系，若以[2（x+y+z）]為一次項系數，[（x2+y2+z2）]為常數項，則以[3=（12+12+12）]為二次項系數的二次函數：

[f（t）=（12+12+12）t2-2（x+y+z）t+（x2+y2+z2）] （5）

為完全平方函數[3（t-1/3）2]。又根據（5）的特征有：

[f（t）=（t-x）2+（t-y）2+（t-z）2]

從而有[t-x=t-y=t-z]，即x =y =z，再又由（1）得：[x=y=z=1/3]，這是（1）、（2）的唯一實數解，它也適合（3），故[x=y=z=1/3]是原方程組的唯一實數解。

3.幾何模型

例2.求函數[y=x2+9+（5-x）2+4]的最小值。

分析：根據函數表達式的形式上的特征，聯想到平面直角坐標系中的兩點間的距離公式，如果我們將函數表達式改寫為：

[y=（x-0）2+（0+3）2+（5-x）2+（2-0）2]。

那么[y]就是動點[P（x，0）]與兩點[A（0，3），B（5，2）]的距離的和，這樣我們就構造了一個幾何模型。

圖（1）

如圖（1），在這個模型中，求函數[y]的最小值轉化為在[x]軸上求一點[P（x，0）]使得[PA+PB]取得最小值.

易知當[P，A，B]三點共線時，

[（PA+PB）min=AB=（5-0）2+（2+3）2=52]

參考文獻：

[1]王林全.中學數學解題研究.科學出版社，2009.3

[2]侯亞林.數學建模在中學數學中的應用.湖北成人教育學院學報，2009.7

[3]姜淑珍.數學教學論簡明教程.吉林大學出版社，2010.1

作者簡介：

戰珊珊（1981- ），女，吉林省長春市，長春師范學院數學學院講師。