在合情推理中發(fā)現幾何規(guī)律

在幾何教學中我們經常要用到合情推理的方法，著名數學家波利亞認為，合情推理是數學發(fā)現與創(chuàng)造的源泉。合情推理是根據已有的事實和正確的結論、實驗和實踐的結果以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在教學“等腰梯形”這節(jié)課時，黃老師從等腰梯形出發(fā)，通過觀察、比較、歸納、類比等實驗活動，讓大家對熟悉的等腰梯形性質的探索過渡到一般的一組對邊相等另一組對邊不相等的四邊形性質的探索，從而在合情推理中發(fā)現幾何規(guī)律。

【片段一】鋪墊導入，激發(fā)動機

師：請大家觀察這個圖形，開動腦筋想一想。

（多媒體出示）

例1 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，M、N分別是AD、BC的中點， 延長BA、CD、NM交于點E，請盡可能多地找出圖中正確的結論。

生1：EB=EC，EA=ED。

生2：∠AEN=∠CEN ，∠EAM=∠EDM。

師：同學們仔細想一想，除了有跟邊和角有關的結論，還有別的結論嗎？

生3：△EAM≌△EDM。

師：還有其他結論嗎？

生4：△EAM∽△EBN。

……

師：今天這堂課我們著重來關注這么兩個結論：EA=ED，∠AEN=∠CEN 。

【賞析】例1的基本圖形是等腰梯形，也是學生最熟悉的一組對邊相等另一組對邊不相等的圖形，教師讓學生在熟悉的氛圍中成功地獲取等腰梯形的相關知識，從而找到知識的生長點，這樣的處理源于“數學應從學生已有的知識經驗出發(fā)”的理念。

【片段二】合作研討，探索規(guī)律

師：同學們對等腰梯形中的結論掌握得不錯，接下來的背景仍然是在等腰梯形當中，請大家積極思考。

（多媒體出示題目）

例2 如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P、Q分別是對角線BD、AC的中點，直線PQ分別交AB、CD于點H、K。求證：①△EBC是等腰三角形；②∠AHK=∠DKH。

師：這個圖形中的正確結論有哪些？

生1：AC=BD，∠ABC=∠DCB，∠BAD

=∠CDA，△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA。

師：能得到△EBC是等腰三角形嗎？

生（眾）：能。

師：有了這些結論，能得到∠AHK=∠DKH嗎？

生（眾）：不能。

師：若它們相等，能得到什么結論？

生2：HK∥BC。

師：已有的結論能說明它們平行嗎？

生3：不能。

師：既然如此，我們再返回題干看看還有什么條件？

生4 ：中點。

師：中點我們會想到什么知識點？

生5：中位線。

師：那么要怎樣作中位線才能使問題迎刃而解呢，請同學們好好思考一下。

生6：取BC的中點O，連接PO、QO。

因為P、Q分別是對角線BD、AC的中點， AB=CD，所以PO∥CD，QO∥AB，且PO=QO，所以∠OPQ=∠OQP，∠OPQ=∠DKH，∠OQP=∠AHK， 所以∠AHK=∠DKH。

師：非常好！通過取BC的中點O就能一箭雙雕地得到兩條中位線，使得問題巧妙地得以解決。這道題目的輔助線還有其他的作法嗎？

生7：還可以取AD的中點。

師：很不錯，同學們的反應非常迅速。

【賞析】在等腰梯形這樣一個大家熟悉的背景下探索∠AHK=∠DKH，由于學生已經了解了等腰梯形的一些常見輔助線的作法，他們可能會運用HK∥BC得出這一結論，若有學生這樣考慮，教師要給予肯定，同時要發(fā)展學生的探究意識，從中點入手喚起學生積極主動的學習意識，另一方面為后面“解決一組對邊相等另一組對邊不相等的四邊形問題的基本思想是化為用三角形中位線來解決”埋下伏筆。

【片段三】再接再厲，拓展規(guī)律

師：請同學們觀察一下，在上面這個題目中有沒有哪個條件沒用到？

生1：有AD∥BC沒用到。

師：那么把這個條件去掉，上面的結論還成立嗎？

生（眾）：成立。

師：那么接下來請大家看下面的題目。

（多媒體出示題目）

例3 在四邊形ABCD中，AB=CD，P、Q分別是對角線BD、AC的中點，直線PQ分別交AB、CD于點H、K。 那么∠AHK=∠DKH還成立嗎？

生（眾）：成立。

師：請一位同學來敘述一下。

生2：取BC的中點O（或者是取AD的中點），連接PO、QO。

因為P、Q分別是對角線BD、AC的中點， AB=CD，所以PO∥CD，QO∥AB，且PO=QO， 所以∠OPQ =∠OQP，∠OPQ=∠DKH，∠OQP=∠AHK，所以∠AHK=∠DKH。

師：這個四邊形是一組對邊相等、另一組對邊不相等的四邊形，解題過程是由特殊到一般的過程。從特殊到一般的圖形，在證明中往往可以自然地延續(xù)或用從特殊到一般的方法去解決，如由全等到相似等。

【賞析】本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的重難點之一，對例2中的等腰梯形進行變式，保留其中的基本條件：一組對邊相等另一組對邊不相等，通過觀察、比較、歸納，探究∠AHK=∠DKH。意在讓學生領悟由特殊到一般的數學思想方法。

【片段四】深入了解，感悟規(guī)律

師：前面我們已經探究到在一組對邊相等另一組對邊不相等的四邊形中，取對角線的中點，會保持等腰梯形中的兩個角相等，那么在這樣的四邊形中，取一組對邊的中點，再延長這幾條線段，這個結論還成立嗎？

（多媒體展示題目）

例4 如圖4，在四邊形ABCD中，AB=CD， M、N分別為AD、BC的中點。 當AD與BC不平行時，延長CD、NM交于點E，延長BA交NE于點F。那么 ①∠BFN=∠CEN、②AF=DE成立嗎？若成立，證明你的結論。

師：在例1中，我們延長等腰梯形中的線段BA、CD相交于點E，得到了很多的結論，其中有兩個結論是：EA=ED，∠AEN=∠CEN 。那么現在在這個題目中，這兩個結論是否依然成立呢？

生（眾）：成立。

師：我們先解決問題1，由中點我們自然會想到什么？

生1：中位線。

師：但是AD、BC都不在三角形中，如何把它們所處的四邊形分成兩個三角形呢？

生2：連接對角線AC或BD。

師：三角形已經有了，那么要如何作中位線才能使得這個問題得以解決呢？

生3：取AC的中點O（或取BD的中點），連接MO、NO。

因為M、N分別是AD、BC的中點，AB=CD，所以MO∥CD，NO∥AB，且MO=NO，所以∠OMN=∠ONM，∠OMN=∠CEN，∠ONM=∠BFN，所以∠BFN=∠CEN。

師：很不錯，取AC的中點把分散的條件AB=CD聚攏到了一起，使得AB的一半等于CD的一半。

師：接下來看問題2，要證兩條線段相等，通常證明三角形全等，顯然 △AFM不全等于△DEM，但是AM=DM，∠BFN=∠CEN。能否有效地利用它們呢？

生4：構造全等三角形。

師：如何構造呢？

生5：作DH∥AF，交EN于點H，則△AFM≌△DHM。所以∠DHM=∠AFM，DH=AF。因為∠BFN=∠CEN，所以∠DHM=∠CEN，所以DH=DE， 所以AF=DE。

師：很好，中點既能構造中位線又能構造全等三角形。由此我們發(fā)現，在一組對邊相等而另一組對邊不相等的四邊形中，不僅能保持等腰梯形中的角相等，而且能保持等腰梯形中的邊相等。

【賞析】本題仍然保持基本條件：一組對邊相等另一組對邊不相等。它是在例1的基礎上把條件進行一般化，同時又有前面兩個題目作鋪墊，讓學生通過發(fā)現本質屬性、確認本質屬性、具體應用的過程來了解圖形具有的數學本質。

在這幾個教學片段中，教師從學生熟悉的等腰梯形出發(fā)，層層遞進，很好地激發(fā)了學生學習的積極性。教學過程始終以學生為主體，充分讓學生自主探究，合作交流，堅持“啟發(fā)式、討論式”教學，提高了學生的探究能力。要提高一堂課的教學質量，關鍵是要讓學生樂于思考，勤于動手動腦，讓他們積極主動地發(fā)揮出自己的主觀能動作用，緊跟老師的教學思路，這樣學生學習數學才不會覺得乏味。 （作者單位：江西省撫州市臨川區(qū)第二中學）

□責任編輯 周瑜芽