在經驗的不斷積累中建構

特級教師吳正憲教的“重疊問題”一課，準確抓住學生的學習起點，有效觸發認知本原，讓他們在經驗的不斷積累中建構知識。

片段一 在認知中激活經驗

師：（指向三角形，用三角形代替人）咱們來數一數到底有幾個？1、2、3、4、5（把磁珠放在第5個三角形上），從右邊數是第幾個？1、2、3、4、5、6怎么了？

師：（指向屏幕）看看題目是怎么說的？從左邊數第5個，從右邊數第5個，那你從右邊數是第幾個？

生：第6個。

師：沒關系，我們讓這個同學自己想，怎么辦？

生：減掉一個。

師：從哪減？

生：右邊。（學生自己擦掉右邊的一個三角形）

師：（指向算式“5+5-1=9”）那我們再來看一看，第一個5在哪，把圖形圈一圈吧！（學生圈）第二個5在哪？（請另一位學生圈）

師：這兩個5合起來是10，但減的這個“1”在哪里？剛才誰得10呀？

生：是他自己。

師：為什么要減去“1”呢？

生1：因為他們重疊了。

生2：因為這個三角形被圈了兩次，所以我們應該減掉一個。

生3：被算了兩次，所以要減1。

師：他說這個三角形算了兩次，就算重復了，對不對？因此要減1。現在是幾個？

生：9個。

【賞析】正如杜威所言：真正的思維（反省思維）起源于某種疑惑、迷亂或懷疑。思維的發生不是依據普遍的原則，而是由某種事物作為誘因而發生。上課一開始，教師便提出了“同學們排隊，亮亮從左數是第5個，從右數還是第5個。排隊的一共有多少個同學？”這個問題既基于學生已有的學習經驗，又順應了教學的根本，有效觸發了學生的認知本原。有的說“9個”，有的說“10個”，還有的說是“11個”。最主要原因是學生對于此類問題的思考方式還不清晰。教師便叫大家動手畫一畫，動筆算一算，看看他們到底是怎么想的。于是出現了以上教學片段，雖然有的想法是幼稚的、不成熟的，但調動了學生的學習內在需求，有效激活了學生原有的經驗，積極主動投入到學習中來。從畫人到畫圖形再到列算式，從數到形，又從形到數，從出錯到知錯，學生的思維過程一層層顯露出來，并在交流互動中悄無聲息地誕生了“韋恩圖”的雛形。

片段二 在生成中積累經驗

師：有了上面重復的經驗，我們來思考這樣的問題。課件出示開放題：“三（1）班同學參加語文組活動的有5人，參加數學組活動的有7人。一共可能有多少人參加了兩個組活動？”

生1：5+7=12。

生2：老師，還有沒有重復呀？

生3：有沒有兩個小組都參加的同學？

師：多深刻呀！他沒有忙著列式，而是在想這會是怎么樣的呢？同學們，到底有幾種可能性呢？

生1：有兩種可能性。

生2：有無數種可能性。

生3：只有一種可能性。

生4：有6種可能性。

……

師：那么能不能列一個式子？（學生上臺列算式：5+5-2=8）

生：（情不自禁）嚴重錯誤。

師：沒事，吳老師也常犯錯。

師：（對剛列算式的學生）你指一指這個“5”在哪里？（學生指，老師順著學生的比畫再畫圈，并標注）那這個“5”又在哪里？（學生指，老師再畫圈）你們說5加5等于多少？你想問他什么？

生1：為什么10要再減2呢？

生2：不能減。（師邊動手操作圓片邊引導）

師：這個數學組的數字是7，而你這第二個“5”是怎么來的？（一名學生上臺改為5+5=10，又列了 12-2=10）

師：（結合圖意分析）這個算式5+5=10，可以不可以？哪問題是——

生：不符合題意。

師：這第二個“5”是哪來的？

生：就是7減去2。

師：你們都在喊為什么要減2呢？伸出手來，跟我一起圈。（先圈語文組，再圈數學組）

生：我看見了其實不是12個人，只有10個人，因為4、5這兩個人既在數學組又在語文組。（師板書“既——又”）

師：那你們看這三個人，用一個詞怎么說？

生：只在語文組。（板書“只”）

師：現在把他們分了幾類呀？

生：三類。

師：按照這個思路來說，你能再列一個算式嗎？

生：3+2+5=10。

師（指著列式為12-2=10的學生）：哪你是啥意思呀？

生：我是先算出總數，再減去既在語文組又在數學組的人。

師：你的思路真清晰，那你的意思跟5+7-2=10是不是一樣呢？

生1：一樣。

生2：7-2+5=10。（學生上臺寫式子）

【賞析】縱觀以上教學片段，吳老師充分尊重學生的主體地位，尊重學生的個人感受和獨特見解，體現“以學定教”的教學理念，時時做到“眼中有學生”，一切以課堂的生成為線索，敏銳捕捉在課堂中閃現的教育契機，并不著痕跡加以引導、點撥，使他們在學習中不斷積累經驗。

當學生提出“有沒有重復”的問題時，教師馬上抓住了這個問題，讓學生大膽猜測、分析其可能性，于是學生的思維閘門被打開了，積極思考。課中，教師把研究的重點聚焦在重復2人的情況，先是讓學生在黑板上擺圓片，感受圈一圈的價值，再引導他們探究發現為什么要減去重疊的人數，在圈和想的過程中，不斷逼近完整的“韋恩圖”，體驗集合思想的價值。之后，讓學生用算式表示“如果其中2人既參加語文組，又參加數學組，那么一共有多少人”的問題時，有學生回答5+5-2=8，教師又捕捉這一生成資源，鼓勵學生演示教師用的教具，引領其在動手操作、觀察中發現問題并調整自己的思維，正確建構“韋恩圖”。課堂中有疑問、有猜想、有驚訝、有沉思，有經歷探究的醒悟，有茅塞頓開的驚喜。學生的思維是活躍的，情緒是高漲的，學習經驗在一次次的智慧碰撞中不斷積累。

片段三 在反思中總結經驗

師：還有別的可能性嗎？

生1：可能是5個人重復。

生2：可能沒有人重復。

生3：可能有3個人重復。

生4：可能有4個人重復。

生5：可能2個人重復。

生6：可能1個人重復。

生7：可能所有的人都重復。

師：（拿出一大一小的圓圈片）小圈表示的是語文組的，大圈表示數學組的。（并動手在小圈片上寫上“5”，在大圈片上寫上“7”。把大小兩圈疊放在黑板上畫的集合圖上。）如果不重復的話，哪有多少人？

生：12人。

師：這“5”，“7”怎么放？（請兩位學生分別舉圈）

師：如果有一個人重復，那這個圈應該怎么放？

生：重疊。（兩位學生把兩個圈交叉一些）

師：兩個人重復。（兩位學生把各自的圈向內移一些），三個人重復了呢？（兩位學生把各自的圈再向內移一些）

師：假如是5個人都重復了，這個圖應該是怎么樣的了？閉上眼睛想象一下。（學生閉眼想象）睜開眼睛，左邊5，右邊7，（引導學生用手指圈表示兩個集合圈）不重復，1個、2個、3個、4個、5個，5個怎么樣了？大家看，疊起來。

【賞析】《數學課程標準》（2011年版）指出：“教師還應揭示知識的數學實質及其體現的數學思想，幫助學生理清相關知識之間的區別和聯系等。”在課堂上，吳老師引導學生對重復的幾種可能性進行“二次反思”與“比較辨析”。這種反思與辨析，對提升學生的思維水平、理清知識之間的區別與聯系都具有重要意義，有效促進學生對知識的深度理解，學生對集合間的并列、交叉、包含關系有整體認識，完成了結構化的建構。

有了前面的經驗積累，一句“還有別的可能性嗎”激起千層浪，從不重復到重復，從最少重復到最多重復，學生思維開放。重復1個人要怎么放？2個人呢？3個人呢？4個人呢？5個人呢？引導學生對自己的思維過程進行再次的反思與比較辨析，并用動作表征。這樣的活動不僅使學生考慮問題更加嚴密有序，而且豐富了課程資源，實現了對數學思維的有效訓練。學生不僅會用集合思想進行分析，還能結合可能性知識進行解析，使學習經驗實現高層次的總結與提升。

總之，吳老師的整個課堂都能以學生為本，觸發學生的知識本原，關注學生的思維發展，與學生的交流對話如山川中之溪流，清新、流暢。在學生的充分思考中對話文本，在課堂互動中捕捉學生的生成，并讓知識在生成中推進，真正讓學生在經驗的不斷積累中建構。（作者單位：福建省莆田市城廂區東海中心小學）

□責任編輯 孫恭偉