高中數(shù)學(xué)教學(xué)中研究性學(xué)習(xí)開(kāi)展的途徑

目前，高中數(shù)學(xué)課堂上教師缺少對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度以及個(gè)體差異的關(guān)注，忽視學(xué)生探究精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的自主性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性受到壓抑．因此，進(jìn)行高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)實(shí)踐，尋找一種與時(shí)代發(fā)展要求相適應(yīng)的教與學(xué)的方式是勢(shì)在必行的．

一、在概念的教學(xué)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，它具有抽象性的特點(diǎn)，若直接就概念而講概念，學(xué)生難以理解和掌握．“從具體到抽象，從特殊到一般”是認(rèn)識(shí)發(fā)展的規(guī)律，教師應(yīng)該鋪設(shè)知識(shí)臺(tái)階，從概念的產(chǎn)生背景和形成過(guò)程中設(shè)計(jì)具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究活動(dòng)，讓學(xué)生感受并體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程．

如在學(xué)習(xí)“橢圓”定義時(shí)，把學(xué)生分成八個(gè)小組并設(shè)置下列實(shí)驗(yàn)及問(wèn)題串．

實(shí)驗(yàn)工具：圖釘、一根繩子（無(wú)彈性）、一塊白色的圖板、鉛筆．

實(shí)驗(yàn)一：請(qǐng)?jiān)囍鴮⒗K子的兩端固定在兩個(gè)不同的點(diǎn)上作圖．

實(shí)驗(yàn)步驟：（1）在木板上取兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2；（2）把細(xì)線的兩端分別固定在F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)上；（3）用筆尖把細(xì)線拉緊，在木板上慢慢移動(dòng)畫(huà)出圖形．

師：畫(huà)出的軌跡是什么曲線？

生：是橢圓．

師：你能說(shuō)出畫(huà)出橢圓的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件嗎？

生：到兩定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓．

注：讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)橢圓，獲得橢圓形成過(guò)程的感性認(rèn)識(shí)，為準(zhǔn)確歸納出橢圓定義作鋪墊．

實(shí)驗(yàn)二：請(qǐng)?jiān)囍粩嘣龃髢啥c(diǎn)的距離作圖．

師：如何修正實(shí)驗(yàn)一的結(jié)論？

生：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓．

注：在動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程中進(jìn)一步完善橢圓的定義．

在探究過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了概念的產(chǎn)生與形成過(guò)程的體驗(yàn)，對(duì)橢圓定義有了明確的認(rèn)識(shí)．由具體到抽象的探究過(guò)程，不僅能幫助學(xué)生理解、掌握新概念，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象能力．

二、在定理、公式的教學(xué)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是前人的發(fā)現(xiàn)成果，其發(fā)現(xiàn)過(guò)程是創(chuàng)造活動(dòng)的過(guò)程，是一種高級(jí)思維活動(dòng)的過(guò)程．如果能夠充分暴露這個(gè)思維過(guò)程，讓學(xué)生親身去體驗(yàn)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的創(chuàng)造力將大有裨益．為此，教師在教學(xué)中可以結(jié)合具體內(nèi)容，設(shè)計(jì)一些與定理、公式相關(guān)聯(lián)的探究問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探索．

如在“組合公式” 的教學(xué)中，可設(shè)置下列問(wèn)題串．

1.先回答下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，再完成表格：（1）從集合1，2，3中取出3個(gè)元素組成三元子集．（2）從集合1，2，3中取出3個(gè)元素后，組成三位數(shù)，寫(xiě)出所有的三位數(shù)．

答：（1)____問(wèn)題，符號(hào)表示為_(kāi)___；（2）____問(wèn)題，符號(hào)表示為_(kāi)__；三元子集有______；三位數(shù)有_______；三元子集個(gè)數(shù)為_(kāi)______；三位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．觀察兩邊個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以得出結(jié)論：__________．你能否從分步計(jì)數(shù)原理的角度，解釋排列與組合之間的關(guān)系？?jī)烧呗?lián)系：_______．

2. 由特殊情況推廣到一般：n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的排列數(shù)，可以看作由以下步驟得到：第1步，從這n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，共有幾種不同的取法；第2步，再將取出的m個(gè)元素作全排列，共有幾種不同的排法．

由分步計(jì)數(shù)原理有：Amn=______；結(jié)論：_______．

3. 導(dǎo)出組合數(shù)公式：Cmn= ________

= ；變形后還可以寫(xiě)為:Cmn=_______，特別規(guī)定Con=_______．

課堂上，學(xué)生通過(guò)自己的探索而發(fā)現(xiàn)公式，這比教師直接灌輸?shù)挠∠蟾鼮樯羁蹋谔剿鬟^(guò)程中，既培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，又發(fā)展了學(xué)生的推理能力和抽象能力．

三、在例題、習(xí)題的教學(xué)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)

例題、習(xí)題是教科書(shū)的重要組成部分，是學(xué)生獲取知識(shí)的載體，也是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁．例題和習(xí)題都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適度變形或拓展，引導(dǎo)學(xué)生分析研究，這樣可以提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

例：直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍（見(jiàn)人教版高中數(shù)學(xué)2-1復(fù)習(xí)參考題A組P80第5題）．

簡(jiǎn)析：對(duì)于本題的求解，學(xué)生一般都能將直線和雙曲線的方程聯(lián)立，消掉y后，由所得的關(guān)于x的方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，且判別式小于零，即可解得k＞■或k＜-■，但如果就此戛然而止，則會(huì)錯(cuò)過(guò)一次提高學(xué)生能力的絕佳機(jī)會(huì)，我們可以通過(guò)下面的變式，來(lái)透視直線和雙曲線的各種位置關(guān)系．

變式1：直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍．

變式2：直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍．

變式3：直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍．

變式4：直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的兩支各有1個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍．

四、在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)

在復(fù)習(xí)課中，教師對(duì)探究問(wèn)題的設(shè)計(jì)不能拘泥于課本一般問(wèn)題的呈現(xiàn)形式與解答要求，應(yīng)在問(wèn)題的條件、結(jié)論、解題策略方面設(shè)計(jì)有一定的開(kāi)放程度，讓學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中建立數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主動(dòng)建構(gòu)．

例：求曲線y2=-4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)．

略解：設(shè)所求的點(diǎn)為P（x，y），則

OP=■=■=■(x≤-2)，當(dāng)x=-2時(shí)，OPmin=2，這時(shí)y=0，點(diǎn)(-2，0)為所求的坐標(biāo)．

說(shuō)明：此點(diǎn)即為拋物線的頂點(diǎn)．

1. 改變條件，挖掘內(nèi)在聯(lián)系

變式1：求曲線y2=4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解法：同上，答案為(1，±■)．

說(shuō)明：此點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)．

2. 將條件一般化，提高綜合分析能力

將課本習(xí)題條件一般化，是設(shè)計(jì)變式題一種常用方法．

變式2：在曲線y2=-4-2x上求一點(diǎn)M，使此點(diǎn)到A（a，0）的距離最短，并求最短距離．

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）

則OP=■=■=■(x≤-2)，若a≥-3，則當(dāng)x=-2時(shí)，MAmin=a+2，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，0)；若a＜-3，則當(dāng)x=a+1時(shí)，MAmin=■，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a+1，±■）．

說(shuō)明：本題實(shí)際上是前兩題的歸納和總結(jié)．

3. 添加背景材料，提高應(yīng)變能力

在教學(xué)過(guò)程中，善于引導(dǎo)學(xué)生變換習(xí)題的形式，可激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的應(yīng)變能力．

變式3：拋物線C1∶y2=-4-2x與動(dòng)圓C2∶（x-a）2+y2=1沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

解：∵拋物線C1與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，

∴方程組y2=-4-2x（x-a）2+y2=1無(wú)解，

∴x2-2（a+1）x+a2-5=0在（-∞，-2]內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根．

令f（x）=x2-2（a+1）x+a2-5對(duì)稱(chēng)軸：x=a+1

則△≥0a+1＞-2f（-2）＞0，或△＜0，得a≥-3a＞-3a＞-1或＜-3，或a＜-3

∴a的取值范圍為a＞-1或a＜-3．

說(shuō)明：如果變?yōu)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)呢？則引出變式4．

責(zé)任編輯 羅 峰