滲透分類思想 直擊數學知識本質

◎開欄語

“同課異構”是指針對同一教材內容，由不同教師設計、構思，運用不同方法和策略進行教學實踐與研討，是當前教研活動的重要形式。然而，人們往往忽視的是教師個體的“同課異構”，也就是教師個體在不同時間、不同場合面對同一個課題，進行多次設計、實踐，從而不斷優化課堂教學結構和效果，提高專業反思能力。本期刊出的這篇文章，就是一個教師進行“同課異構”的實踐與反思，在一次次改進中，逐漸接近教學知識的本質要求。

從本期開始，《今日教育》將開辟“同課異構”欄目，為大家提供一個展示交流的平臺。無論是教師個體意義上“同課異構”的探索，還是集體意義上“同課異構”的實錄、點評，都歡迎大家踴躍參與。

隨著數學課程教學改革的深入推進，滲透數學思想的重要性日益凸顯。2011年版《義務教育數學課程標準》就在原來的“雙基” （基礎知識、基本技能）基礎上，明確提出了培養“學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”的“四基”要求。本文以《三角形分類》一課為例，對滲透分類思想進行了多次嘗試，引導學生逐漸逼近數學知識的本質。

一、嘗試探索，初步理解三角形分類的本質

三角形的分類讓學生不僅要知道分的結果，還要知道為什么要分，以及怎樣分，并在分的過程中深入體會分類思想的本質。

【第一次教學案例回放】

師：請按角給三角形（圖1）分類。

生：我分為三類，①⑤、②④、③⑥。

師：你是怎么想的？

生：因為①⑤三個角都是銳角；②④有一個角是直角；③⑥有一個角是鈍角。

師：還有不同的分類結果嗎？

（齊答：沒有了）

師：我們已經將它們分為了三類，能給每一類取個名字嗎？

生：三個內角都是銳角的叫銳角三角形；有一個內角是直角的叫做直角三角形；有一個內角是鈍角的叫做鈍角三角形。（表1）

師：你們分的結果與數學家的一模一樣。其實，關于三角形的分類數學家早已做了研究，你們想知道嗎？

生：想。

師：他們認為以有直角作標準可分為兩類：直角三角形和斜三角形；也認為可以把有直角的分為一類，有鈍角的分為一類，把三個角是銳角的分為一類。但為了研究的方便，分為三類。

師：我們還可以用圖2來表示分類的結果。這三類三角形是什么關系呢？

生：是各自獨立分開的。

師：對呀，也就是說我們已經分完了，沒有重復也沒有遺漏。這三種三角形是并列關系。

【反思】

其實，三角形按角分類的結果，很多學生都已經知道，那我們到底要給學生什么？我在以下三個方面花了功夫：一是引導學生對分類的結果解讀，展現思維過程。當學生說出分的結果后，先通過追問引導學生說清楚分類的依據，再利用表格梳理出分類的結果，從而讓學生明白了“怎樣分類與為什么這樣分類”。二是介紹數學家對于三角形分類的探索，在肯定大家分類的結果后用問題激發學生的好奇心和求知欲。三是利用韋恩圖表示分類的結果，體會科學分類的原則是不重復、不遺漏，讓分類思想浸潤學生心田。以上教學中美中不足的是分類的結果只有一種，學生的思維成為了直線型，沒有明確認識分類標準的重要性。

【第二次教學案例回放】

學生對圖1三角形分類后匯報。

生1：我分為兩類，①③⑤⑥、②④。因為②④有一個角是直角，①③⑤⑥沒有直角。

生2：我分為三類，①⑤、②④、③⑥。因為①⑤三個內角都是銳角；②④有一個內角是直角；③⑥有一個內角是鈍角。

師：還有不同的分類結果嗎？（生齊答：沒有了）好的，現在比較兩種分類結果，哪種好？為什么？小組討論一下。

生1：我們這組認為第二種好，因為每一類三角形具有相同的特征。

生2：我們這組覺得第一種也可以，因為他是把有直角的一類分在一起，沒有直角的分為另一類。

師：你們說得都有道理。其實，這兩種結果都有道理，因為他們所選取標準不一樣。從這里讓我們明白分類標準太重要了，標準不同結果卻會不一樣。

【反思】

在這次教學中“意外”地出現了兩種不同的分類結果，是學生對于分類標準重要性的深刻解讀。分為兩類的標準是有無直角，分為三類的標準是每類三角形的本質特征。通過討論明白了因標準不同，分類的結果不一樣。

二、提升思維，深入理解三角形分類的本質

數學知識的產生、發展都有其理由，數學家給三角形命名也是有根有據的。因此，要讓學生更深入地理解三角形分類的本質，就得從命名處著手去思考。

【第一次教學案例回放】

學生初步理解三角形分類的原則后，教師出示練習題引導學生思考其分類的依據。

師：選一選，對號入座。（圖3）

銳角三角形有（ ），直角三角形有（ ），鈍角三角形有（ ）。

匯報交流，說明理由。

師：如果讓你快速判斷每個三角形是什么三角形，你有什么好辦法？

生1：我是先看三角形里有沒有直角，再看有沒有鈍角。

生2：我是看每個三角形里最大角。

師：真是太聰明了。判斷一個三角形是什么三角形，可以直接看最大角，這是多么巧的方法。老師不得不發出感嘆：一要感嘆數學家的智慧，他們在給三角形命名時用了最大角命名法，也讓我們明白數學是講道理的；二要感嘆是思考讓我們進步了。

【反思】

三角形按角分三類后并命名，那命名的依據是什么？思考讓我明白：在直角三角形里最大角是直角，在鈍角三角形里最大角是鈍角，那么在銳角三角形里最大角肯定是銳角，高明的數學家就是利用三角形里最大角來命名的。基于此，我設計了一道練習題讓學生練習后提出“如果讓你快速判斷每個三角形是什么三角形，你有什么好辦法”引導學生的思考，使其思維達到更高層次，并觸及了三角形分類的本質特征。同時，讓學生感受到了數學家的大智慧，體會到了數學是講道理的。后來我又發現，其實關于三角形的命名是采用特征命名法，從名稱上能知道每類三角形的本質特征。

【第二次教學案例回放】

……

師：剛才經過大家的努力，將三角形分為了三類并得出各類三角形的名稱。請大家思考一下，這三類三角形從角的特點上來看，有什么相同點和不同點？

生1：不同點是銳角三角形的最大角是銳角，直角三角形的最大角是直角，鈍角三角形的最大角是鈍角。

生2：相同點是它們至少都有兩個銳角。

師：同學們觀察得非常仔細，很快地找出了它們的異同。請大家再將每類三角形的名稱與它們的不同點對應起來看，你會有什么發現？

生：我們發現三角形的最大角是什么角，它就是什么角三角形。

師：太精彩了。是呀，高明的數學家就是利用三角形里最大內角來給每類三角形命名的，這種命名方法叫做特征命名法，它讓我們一看到它的名稱就能知道它的本質特征。其實數學上很多概念都是用特征命名法命名的，如三角形、圓、小數等。數學是講道理的，每個知識的產生、發展都是有根有據的。

【反思】

改進后的教學重點是讓學生充分感受特征命名法在數學中的廣泛應用，從而證明數學是擺事實講道理的。教學中通過表格將三角形歸類，然后讓學生找出它們的相同點和不同點，深刻理解了每類三角形的屬性。接著提出問題，經學生的觀察與討論，發現三角形的最大角是什么角，它就是什么角三角形。最后教師一點撥，學生豁然開朗，原來數學家是利用特征命名法給三角形命名的。因此，學生開課時提出的“為什么要給三角形分類”在此得到了圓滿回答“是為了找出每類三角形的本質屬性”；“怎樣給三角形分類與分類的結果如何”在教學過程中也找到答案。

通過這次同課異構，我深刻地明白：教學是一個不斷發展變化的過程，教學效果沒有最好，只有更好。只有在認真解讀教材、研究學生之后，反復改進，才能讓我們教學趨于完美，更重要的是教師的專業水平在一次次的思考與改進中得到提升。

（作者單位：重慶市北碚區朝陽小學）