思維在撐起的“模型”桅桿下走向深處

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的教學手段。在華東六省一市小學數學教學觀摩活動中，筆者聽了江蘇省吳靜老師執教的“三角形的認識”這節課，本節課吳老師在充分解讀教材、把握重難點的基礎上，緊扣數學本質，以數學模型為抓手，大膽突破教材，借助形象直觀的教具，層層剝筍，環環相扣，讓學生的數學學習有需求，有理有據，有情有趣，學生對三角形的認識由粗淺到深入，由表象到本質，思維發展循序漸進，逐步走向深入，數學建模水到渠成，在互動中智慧生成數學模型。

一、拋出問題，大膽猜想

師：大家會用小棒圍三角形嗎？

生：會！

師：先看老師用小棒來圍三角形。（如圖）

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師：這樣是三角形嗎？

生：不是。

師:為什么？

生：有兩根小棒沒有圍到一起。

師：怎樣才能圍成三角形？

生：3根小棒要首尾相連。

師：那任意3根小棒一定能圍成三角形嗎？

生：不是。

師：這畢竟是我們的猜想，究竟行不行，我們還得動手來試一試。老師為同學們準備了4組小棒。（給出教具）

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師：把這條藍邊固定好，用紅、黃兩條邊去配，連在藍邊的兩頭。

（4個學生上黑板圍三角形，其他學生小組合作探究。）

師：這4組小棒都能圍成三角形嗎？

生：不是。

（活動得出第一組、第二組能圍成三角形，第三組兩條邊根本夠不到，不能圍成三角形，第四組雖然夠到了，但是連成了一條線段也不行。）

師：我們發現有的3根小棒能圍成三角形，有的不能圍成三角形。

【賞析】吳老師在引入新課時，開門見山，直截了當，從“圍”三角形開始，教師故意圍錯讓學生形象地感知“圍”三角形就是“頭連頭，尾連尾”，這樣才是一個封閉的平面圖形，接下來教師拋出一個猜想：任意3根小棒一定能圍成三角形嗎？引導學生通過大膽猜想，小心求證，為后續學習總結概括，為探尋解決問題的科學方法做好鋪墊。

二、驗證猜想，初建模型

1.探究第一個條件

師：同樣是用紅、黃兩條邊去配這一條藍邊，這兩組能圍成三角形，那兩組不能圍成三角形，這是為什么？紅黃兩條邊的長度究竟要符合怎樣的條件才能和藍邊圍成三角形呢？請大家小組里討論一下。

生：紅黃兩邊的長度和要大于藍邊的長度。

師：要圍成一個三角形，紅黃邊的和一定要大于藍邊。（板書：紅＋黃＞藍）

2．探究第二個條件

判斷：

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（前3組判斷略）

師：第四組藍邊10厘米、紅邊3厘米，黃邊15厘米，可以圍成三角形嗎？

生：不行。

師：為什么？

生：一條邊太長了。

師：哪一條邊太長？

生：15厘米的黃邊太長了。

師：哦！這條黃邊太長了。

師：那反過來，如果黃邊不變，要圍成一個三角形，紅邊和藍邊的長度和有什么要求？

生：必須大于15厘米。

（師板書：紅＋藍＞黃）

師：那這樣看來，只考慮這個條件（紅＋黃＞藍）顯然是不夠的， 我們還得要考慮第二個條件（紅＋藍＞黃）。

【賞析】 吳老師根據剛才發現的結論讓學生判斷，在判斷中設置認知障礙，引出僅僅有第一個條件還不管用，引發學生思考并修改結論，得出還需要“紅＋藍＞黃”的結論，這樣讓學生在反例中頓悟，使學生思維不斷走向深入。

3．探究第三個條件

師：那是不是只要符合這兩個條件，紅黃藍三根小棒就一定能圍成三角形呢？

生：不是。

師：那你們說還要滿足其他什么條件呢？

（生猜想：黃邊加藍邊必須大于紅邊。）

（師板書：黃＋藍＞紅）

（師出教具：

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師：請你一一對照，看看是否符合條件一、條件二？可以圍成三角形嗎？

生：符合前兩個條件，但是還是不能圍成三角形。

師：為什么？

生：黃邊加藍邊的長度和要大于紅邊。

師：確實還要滿足這個條件。

【賞析】 波利亞說過，學習任何知識的最佳途徑都是由自己發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中內在的規律、性質和聯系。吳老師為學生提供了探究發現的4組小棒，讓學生動手圍一圍，學生在操作中體驗，在體驗中發現。學生發現有的小棒可以圍成三角形，有的小棒不能圍成三角形，接著教師啟發學生思考核心問題：“紅黃兩邊的長度究竟符合怎樣的條件才能圍成三角形呢？”經過小組研究，學生自主發現了初步結論，雖然這個初步結論是不完善的，但因為是學生自己發現的，對于個體來講，它的價值和科學家的發明創造是等同的。

4.建構數學模型

師：由此看來，圍成三角形的三條邊必須符合哪些條件才可以？

生：紅＋黃＞藍、紅＋藍＞黃、黃＋藍＞紅。

師：說得很好。但這樣說非常繞口，讓別人聽得弄不清頭緒，怎樣表達既簡單又明了？

生1：三條邊中的每兩邊的和都要大于剩下的第三條邊。

生2：就是任意兩條邊的和都要大于第三條邊。

（師板書：任意兩條邊的長度和要大于第三邊。）

師：說法簡單了，但是驗證的時候還要3個條件一一滿足才可以。

【賞析】抽象、概括、嚴密是數學的本質特征。教師精心設計，從立中破，從破中立，讓學生經歷從A，到不但A，還要B，再到不但A和B，還要C，引發學生抓住問題本質，抽象概括，從繁到簡，高度抽象，使學生認識到數學高度抽象和嚴謹的無窮魅力。學生經歷不斷抽象的數學化過程，實際上已經完成了數學建模的基本過程，“任意兩邊之和大于第三邊”這一數學模型就水到渠成了。

三、優化提升，完善模型

（教師要學生快速判斷：2、3、8；4、7、8；6、5、8，這三邊能圍成三角形嗎？）

師：老師發現有些同學判斷的速度非常快，有什么竅門和大家分享一下。

生：找到最短的兩條邊加起來大于8就可以了。

師：他計算了幾次？

生：1次。

師：為什么其他的條件不用驗證就知道這三組小棒可以圍成三角形呢？

生：因為6和5是這三條邊中最短的兩條，其他的就更不用說了。

師：那這樣看來只需計算一次就可以下結論了。真巧妙！

（板書：兩條短邊之和大于第三邊）

師：5厘米、5厘米、5厘米。這三條邊沒有長短之分，能圍成三角形嗎？

生：能。

師：為什么？

生：因為只要一個算式5+5＞5，就把所有的邊驗證好了。

師：圍出來會是怎樣的三角形？三條邊長度都相等，這樣的三角形叫等邊三角形。

【賞析】當學生運用規律判斷交流時，發現了判斷的竅門，以此為出發點引導學生探索為何只需判斷一次的道理，有理有據，不斷優化、完善模型結構，同時對三角形本質的理解更深入、更全面，真可謂是實踐出真知。再次優化實際上是引導學生打破剛才建構的數學模型，抓住問題的本質屬性，用兩條短邊和最長的第三邊比較，形成一個最優化的數學模型結構：“兩條短邊之和大于第三邊。”

總之，本課設計巧妙，探究層次清晰，學生興趣濃厚，可以觸發他們更有針對性地思考。在這樣的探究過程中，學生經歷了從表象到本質，從具體到抽象的過程，步步深入三角形的本質特征，拓展了思維深度，完善了認知結構。由此，在教學中，我們也應緊扣數學本質，引導學生進行有目的的探究，經歷猜想、嘗試、驗證、建構數學模型、優化數學模型、運用模型解決問題等歷程，以數學建模為抓手，把學生的思維引向深處。（作者單位：江蘇省江陰市華士實驗小學）

□責任編輯 周瑜芽

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