關于不等式證明教學中的反思

不等式的證明題型多變，方法多解，技巧性強，沒有固定的程序和統一的方法、證明不等式的一般方法有做差比較法、做商比較法、綜合法、分析法，其他方法有反證法、放縮法、換元法和判別式法。而對這些方法的使用，要根據不等式的結構特征，去分析條件與結論之間的內在聯系，不斷總結規律，選擇合理有效的證明方法，下面就幾種方法作簡要透析。

一、 比較法

比較法是證明不等式最常用的方法之一，其中有作差比較和作商比較法

1. 作差比較法的基本步驟是：作差→變形→判斷符號。其中“變形”是關鍵。通常需要配方或因式分解，將差變形為幾個因式的積或配成幾個平方和的形式，有些形式也可用判別式法來判別符號。

2. 作商比較法的基本步驟是：作商→變形→判斷商與1的大小關系。其中作商首先確定a、b的符號。通過比較a/b與1的大小關系來判斷a與b的大小關系。

一般地證明冪指數不等式時常用作商比較法。證明對數不等式時常用作差比較法，當“商”或“差”式中含有參數時。通常都要對參數的取值進行分析。應引起注意的是比較法證明不等式問題經常借助于函數的單調性。

二、分析法

分析法是執果索因從結論出發，一步步尋求上一步成立的充分條件直至找到已知的不等式或易證的不等式為止的一種方法，當所證的不等式比較復雜而又無從下手時，常采用分析法。

用分析法的過程中要注意：

⑴分析法證明的每一步知識要尋求上一步成立的充分條件，而不是充要條件。所以沒有必要“步步可逆”否則，就限制于它解決問題的范圍。

⑵認真審題。在轉化結論時要注意聯系條件的特征。

⑶用分析法證明問題時，一定要適當地用好“要證”、“只須證”、“即證”、“也即證”等詞語。

三、綜合法

綜合法是由因導果。即從已知條件或已知的真命題出發，根據不等式性質一步步推導出結論的一種方法。綜合法往往是分析法的逆過程，它表述簡單，條理清楚。因此，在實際證明的過程中，我們通常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數字問題的一種重要思想方法。

四、反證法

用反證法證題的實質就是從否定結論入手。經過一系列的邏輯推導出矛盾。從而說明原結論正確。對于要證明的結論中會有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若難以找到解題的突破口，可轉換視角。用反證法往往能解決問題。

五、放縮法

若要證明不等式A＜B成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法稱為放縮法，即要證明A＜B成立，可以構造出數學式C，使A＜C，C＜B。其中數學式C常常通過將A放大或縮小而構造。放縮法是一種證明技巧。利用好這一技巧可以突破證明不等式的許多難關。

六、換元法

將所證的不等式的字母作適當代換，以達到簡化證題過程的目的。這種方法稱為換元法，換元法的主要方法及適應范圍是：

1. 三角代換法：多用于條件不等式的證明。當所給條件比較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮用三角代換，將兩個變量都用同一個參數表示，此法如果運用適當。可溝通三角與代數的關系，將復雜的代數問題轉化為三角問題。

2. 增量換元法：在對稱式（任意交換兩個字母，代數式不變）和給定字母順序（如a＞b＞c）的不等式，應考慮用增量法進行換元。其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。

在不等式的證明中，只要掌握好以上方法，學會會學會用，掌握這方面的知識就不難。寫下以上幾點，以求教于方家。

作者單位 陜西省榆林市第二實驗中學

責任編輯 楊博