探究高考數(shù)列通項(xiàng)的求法

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常中重要的位，對通項(xiàng)公式的探究是高考考查數(shù)列的主要命題點(diǎn)，它能考查觀察、歸納、猜想、推斷能力，特別是有遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項(xiàng)、更具有新穎、靈活等特點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是歷年高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。現(xiàn)主要以近年高考題為例，分析求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，以便在高考復(fù)習(xí)階段，做到知己知彼、有的放矢，提高復(fù)習(xí)效率。

類型1：已知數(shù)列類型，利用定義求解

例1：（2011年福建卷）已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3。

（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和sk=-35，求k的值。

例2：（全國卷文科) 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，已知a2=6，6a1+a3=30求an和sn。

【點(diǎn)評】利用定義求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要知道數(shù)列的類型，即等比數(shù)列或等差數(shù)列，以及等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)。

類型2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn

求其通項(xiàng)，可用公式，ans1sn-sn-1求解

例3：湖北已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和sn為，且滿足： 工a1=a(a≠0)，an+1=rSn(n∈N*，r∈R，r≠-1)。

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若存在K∈ N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差數(shù)列，判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論。

【點(diǎn)評】數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn的關(guān)系需注意當(dāng)n≥2時(shí)求出an也適合n=1時(shí)的情形，可直接寫成an=sn-sn-1否則分段表示。

類型3：可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項(xiàng)

例4：（2011年全國）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，且■-■=1.

（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=■，記Sn=■bk，證明：Sn <1，

解：（I）由題設(shè)■-■=1，

即(■)是公差為1的等差數(shù)列。

又■=1，故■=n，所以an=1-■.

類型4：由遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.累加法

例5：（2011年四川） 數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3， {bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an (n∈N*).若則b3=-2，b10=12，則a8=

（A）0 （B）3 （C）8 （D）11

【點(diǎn)評】 數(shù)列的遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n)，其中{f(n)}前有限n項(xiàng)可求和。此種類型的數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)，常常是相鄰兩項(xiàng)作差，然后對差式求和，這是求通項(xiàng)公式的一種重要方法。

2. 累乘法

已知數(shù)列{an}中，a1=1，(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2)，則數(shù)列的通項(xiàng)為（ ）。

解析：原遞推公式即為■=■(n≥2)，所以■=■，■=■，■=■，■=■…■=■(n≥2)，各式左右兩邊分別相乘得■=■(n≥2)，

解得an=■(n≥2)，又a1=1適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=■.

【點(diǎn)評】：數(shù)列的遞推關(guān)系形如an+1=g(n)an，其中{g(n)}的前n項(xiàng)的乘積容易化簡。此數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法用累乘法。

3.換元構(gòu)造新數(shù)列

例6：（2011年廣東）設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=■(n≥2)，

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1

【點(diǎn)評】第（1）問遞推公式的特征，應(yīng)該把a(bǔ)n與n結(jié)合在一起，從而與an-1和n-1結(jié)合的式子相對應(yīng)，故可對條件給出的等式兩邊取倒數(shù)，便可通過換元構(gòu)造新的遞推數(shù)列，并利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為類似等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解。

總之，由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn)，但只要善于聯(lián)想，掌握一些固定模式及對應(yīng)解法，那么難點(diǎn)也會很容易被突破。

作者單位 陜西省靖邊縣第三中學(xué)

責(zé)任編輯 楊博