數學思想方法在地理學習中的應用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

數學思想方法在地理學習中的應用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

地理學科，尤其是自然地理，思維方式最接近理科思維，對學生的邏輯推理和綜合分析能力要求較高。在地理學習過程中如果能夠從數學的角度出發看問題，把復雜的地理問題抽象成簡單的數學問題，將有助于突破一些地理學習的難點。以下介紹幾種地理解題中常用的數學思想方法。

一、極值法在地理學科解題中的應用

在數學中，極大值與極小值（又被稱為極值）是指函數在一個值域上取得最大值（或最小值）點的函數值。而使函數取得極值的點(橫坐標)被稱作極值點。在對晝夜長短、正午太陽高度變化等地理現象分析時，對冬至、夏至、遠日點、近日點等極值點的分析可以將地理問題抽象成數學問題，從而簡化對此類問題的理解和記憶。

例1 （2011年江蘇高考3、4題）表1為三地連續兩日日出與日落時刻（北京時間），據此回答（1）～（2）題。

表1

（1）三地按緯度由高到低的排列正確的是

A．①②③ B．①③②

C．②①③ D．③①②

（2）若③地為北京，則此時

A．太陽直射點位于南半球且向北移

B．地球公轉速度逐漸加快

C．北極圈內極晝的范圍逐漸漸擴大

D．各地晝夜長短相差最小

分析表格中的數據主要涉及晝夜長短變化，從晝長的變化規律來看，赤道永遠晝夜平分，晝夜時長的差距為零，此差距隨緯度增大而增大。因此在解答第(1)題時，只需查看晝夜時長的差距大小，差距小者緯度低。因此不難判斷答案為B。表格數據表明，③地晝長長于12小時，且繼續變長，若③為北京，顯然此時太陽直射北半球，直射點此時向北回歸線移動，地球向遠日點移動。由于夏至時太陽直射北回歸線，北半球晝長和極晝范圍均達到極大值，而遠日點地球公轉速度達到極小值，因此容易判斷第(2)題中的B、D選項錯誤，符合題意的答案為C。

在涉及地理圖像的記憶時，極值法的應用有利于簡化各變化規律的記憶量。

例2 （2010年四川高考8、9題）圖1是某地氣溫、降水、潛水水位（潛水面海拔）年內變化圖。讀圖回答（1）～（2）題。

圖1

（1）圖1所示這類氣候條件容易誘發的地理現象是

A．寒潮 B．泥石流 C．凌汛 D．沙塵暴（2）下列城市所在地域，與圖1所示氣

候類型相同、海拔相近的是

A．天津 B．昆明

C．新奧爾良 D．加爾各答

分析這類題目的答題關鍵在于根據圖標判斷氣候類型，而在氣溫和降水、河流流量、潛水位變化等方面，如果能夠記住幾個關鍵極值與極值點，便容易進行判斷。如亞熱帶與溫帶的氣候差異在于月平均氣溫極小值是否大于0℃，降水量在6月至9月的極大值之間出現了8月的極小值意味著伏旱天氣等。容易判斷該地區 的氣候類型，（1）、（2）兩題的答案便顯而易見了。

二、向量分析法在地理學科解題中的應用

在數學中，既有大小又有方向的量叫做向量，地理中涉及方位的所有計算均可視為向量運算。在引入正交分解等向量計算方法后，地理方位可分解為東西方位和南北方位兩部分。

例3 讀圖2，圖中B在A的什么方向？

分析使用正交分解法，很容易發現，從A到B的路線可以分解為從A出發向西到達C和C向北到達B點兩個方向，即B在A的西北方向。

另外，在太陽視運動的判讀問題上，由于空間想象存在困難，許多學生容易出現一些基本判斷的錯誤，甚至一些教師在此類問題上都出現錯誤，在進行命題時常常出現一些錯誤，如果采用向量分析法，結合極值法，便能避免此類錯誤。如例4便是近年來常被用于各地高三復習的一道試題，便是典型錯題。

例4 三地同學共同開展一個“影子長度”的探究學習活動，他們在當地時間10：00～14：00每隔一小時測量一根1米長的桿的影子長度，并將所得數據繪制成圖。下圖為6月22日三個地區同學所提供的觀測結果。回答（1）～（2）題。

（1）甲、乙、丙三地緯度由低到高的順序是

A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙

C．乙、甲、丙 D．丙、乙、甲

（2）關于乙地此時氣候特征的描述，最可能出現的是

A．一年中氣溫較高、降水較多的季節

B．一年中降水較少、草木枯黃的季節

C．一年中氣溫較低、降水較多的季節

D．一年中降水較多、作物生長旺盛季節

圖2

分析該題的甲圖事實上是不可能存在的，根據題目條件，此時為夏至，太陽直射北回歸線，而甲圖中北京時間13時甲地影長為0，顯然甲地位于北回歸線，但事實上，由于夏至全球未出現極晝極夜現象的地區均日出東北，日落西北，太陽方位的南北分量均指向北方，正午之時，太陽達到甲地正上方，即南北分量為0，顯然，這一天中，太陽方位的南北分量不可能為南方，也就是說，這一天中，影子不可能朝向北方。

三、變量控制法在地理學科解題中的應用

在數學運算時，常采用消元法進行化簡運算，而這一思想在地理學習過程中的應用就是進行變量控制，針對某些復雜的地理現象變化過程進行簡化學習。如教材中對風向的判斷分析過程，就進行了這樣的簡化分析，層層深入，從僅受水平氣壓梯度力影響開始，依次加入地轉偏向力、摩擦力等影響因素，逐步了解風的形成過程，而這一方法也可以在解決問題中逆向應用。

例5 （2006年廣東14題）假設在北半球各高度水平氣壓梯度力相同，自地面向上一定高度內，風的變化情況為

A．風速變小，風向不變

B．風速變大，風向不變

C．風速加大，風向逆時針方向偏轉

D．風速加大，風向順時針方向偏轉

分析本題假定水平氣壓梯度力不變，由于地轉偏向力在同緯度大小相等，顯然主要考慮的就是摩擦力變化的問題。根據課文對摩擦力作用的描述，一方面，摩擦力的作用使風力減小，另一方面，摩擦力使風向偏轉減小。因此，隨著高度上升，摩擦力的影響減小，風力加大，偏轉加大，由于北半球風向順時針偏轉，答案顯然選D。當然我們也可以采用極值法，將“一定高度”擴大為升高到忽略摩擦力的高度，在不考慮摩擦力的時候，地轉偏向力使風向偏轉90°，使之與地面偏轉較小的風向比較，也可以得出該結論。

四、數形結合在地理學科解題中的應用

地理學習過程中，會遇到許多地理圖表，包括地理等值線圖、各類統計圖表等，如果充分理解各類圖表的數學含義，就能夠做到“運用之妙，存乎一心”。

在地理考試時，常常會遇到各種新的圖表形式，這就要求我們能夠充分體會統計圖表只是地理數據的表現形式，大多數數據可以使用最簡單的點狀、柱狀圖表達，意味著大多數復雜的統計圖表可以輕易轉化為我們所熟悉的圖表形式。以下以三角坐標圖和雷達圖為例進行分析。

例6 三角坐標圖（圖3）。

三角坐標圖通常用于表示總和為100%的三個要素各自的比例構成。如經濟中的三大產業構成、人口中的老年、青壯年、兒童的構成等。由于坐標軸多，而且并非學生習慣的直角坐標系，三角坐標圖成為學生學習的一大難點。

三角坐標圖的讀圖要訣在于將其轉化為直角坐標，由于三角坐標圖包含三大數據的表達，因此，在讀圖的時候應當依次讀出，簡化讀圖難度是讀圖的關鍵。在讀圖3時，我們可以暫時先拋開c數軸，只考慮a、b數軸進行判讀。我們可以將b軸平移至a軸的原點處，此時a、b軸即構成一個直角坐標系（圖4），此時就可以讀出圖中A點的b數據，然后將圖旋轉120°，依次讀出a、c的數值即可。圖中A點的a、b、c數據分別是20，60，20。

例7 雷達圖（圖5）。

雷達圖是另一類學生較少見到的統計圖表，學生易產生畏懼心理，其實此類圖像很容易就可以變換為我們熟悉的直角坐標圖。圖5為廈門降水量分布圖，粗看不容易讀懂，其實雷達圖可以看成直角坐標（圖6）將橫坐標縮短成一個點后變成的扇形圖，便容易將圖5的形式轉變為圖6的形式。

圖5

圖6

從數據的角度出發，我們也容易發現圖5中離圓心越遠的點數值越大，我們便可以輕松讀出各點的實際降水量，容易看出6月降水最多，而雨季持續時間較長，從4月直至9月。

地理是一門綜合性很強的學科，學好地理知識不僅需要好的記憶力，還需要有對地理知識的充分理解，才能夠自如地應用地理知識解決實際問題。在目前的地理高考實踐中，十分側重考查學生的四大能力，即獲取和解讀信息的能力、調動和運用知識的能力、描述和闡釋事物的能力、論證和探討問題的能力。在能力的培養中，數學思維有時可以起到很大的作用。數學思想在地理學習過程中還有很多運用，需要在學習中逐步加強體會。