一維改進分形海面模型及海譜分析

2012-03-18 08:10:44胡云安張敬明

電訊技術 2012年8期

陳瑜,胡云安,張剛,張敬明

(1.海軍航空工程學院控制工程系, 山東煙臺264001;2.解放軍92060 部隊共同科目教研室,遼寧大連116000)

1 引言

海面電磁散射的研究在海洋遙感、環境監測及海上目標跟蹤與識別等領域中都有極其重要的意義[1-3]。在模擬海面電磁散射的過程中提出一種合適的海面模型非常關鍵。海面是一個不規則的隨時間變化的粗糙面,一般通過基于海譜的統計特性來模擬粗糙海面,從海洋學現有觀測和研究成果,海譜能很好地描述充分發展海面的頻域特性,但基于海譜的統計方法只能描述海面的靜態特性,不能描述海浪產生和繁衍的物理機理。最近由于分形幾何在各個方面的逐漸應用[4-6],人們發現分形海面既具有統計性又具有隨機性,能夠更為貼切地描述真實海面,因此利用分形模型對海浪進行研究逐漸成為國內外研究的熱點。Jaggard 和Sun[7]首次提出了利用一維Weierstrass 帶限分形函數描述海面的思想,文獻[8]在Jaggard 的基礎上擴展到二維平面,并用此模型去描述了單一小平面的粗糙程度,該小平面在高分辨雷達中得到應用;文獻[9-10]在以上模型的基礎上考慮了海浪的機動性,把一維擴展到二維,考慮了海浪的多結構特性,開發了分形幾何的特性,并引進了平臺的運動速度,這種特性很適合被應用到空中和衛星雷達。實際海浪的功率譜既包含正冪率部分也包含負冪率部分,而經典分形模型只能模擬負冪率部分,為了更好地與實際粗糙面相結合,文獻[11]應用P-M 譜和Weierstrass 帶限分形函數結合模擬一維海表面,文獻[12-13] 建立了基于未充分發展海譜的分形海面模型,但以上兩者都沒給出海譜的形式, 模型的正確性無法驗證, 王運華等人[14-15]對Weierstrass 帶限分形函數一維和二維形式進行了改進,給出了方向海浪譜的形式,并與經典文獻進行了比較,兩者吻合較好,但該模型無法給出改進部分具體的物理含義,Berizzi[16]通過對Weierstrass 帶限分形函數的分形海譜加入高斯相關函數,得到的方向海浪譜與經典文獻吻合較好,但從海譜得不到改進分形函數的表達式。文中針對以上問題對分形模型進行了改進。

海面上任一點的波都是由本地產生的毛細波和從其他方向傳來的長重力波疊加而成的,而傳

統分形模型不考慮涌浪,只考慮短重力波和毛細波的情況,因而產生海譜中不包括正冪率譜的部分,根據這一問題,基于Longuet-Higgin 提出了一種改進的歸一化帶限Weierstrass 一維分形海面模型, 其中Longuet-Higgins 模擬的海面模型是基于充分發展海浪譜PM 譜建立的,能很好地體現海浪的涌浪特性。為了進一步驗證改進模型的正確性,推導了改進分形模型的功率譜,并與PM 譜[17]進行了比較。通過比較發現,不同風速下改進分形功率譜和PM 譜變化趨勢是一致的,驗證了改進模型的正確性。詳細討論了改進模型的分形維數、尺度因子、風速等參量對一維海面輪廓的影響,并與Longuet-Higgins 模型模擬的海面輪廓和經典分形海面輪廓進行了比較,經過比較發現改進分形模型的海面輪廓符合海面的實際情況,既保留了Longuet-Higgins 海面模型能模擬大尺度涌浪的特性,又保留了經典分形海面模型能描述毛細波細微結構的特性,符合海浪產生的物理機理。

2 改進一維分形海面模型

利用分形方法研究海面模擬的優點為:一維分形海面兼具周期性和隨機性,更加貼近真實海面的描述;分形海面往往具有閉合的表達式,其幾何特征可以方便地用幾個參量控制,便于應用;由分形海面的表達式可直接導出海譜的表達式,這給理論分析和算法實現帶來便利。通常用經典的帶限Weierstrass 分形函數來模擬一維動態海面,該模型通常表示為[18]

式中,σ為海面高度起伏均方根;b>1 為尺度因子,控制著正弦分量的幅度和頻率分配,并且當b 是有理數時, f(x,t)表現為周期函數,當b 是無理數時,f(x, t)表現為準周期函數;Nf>400 表示模型中含有正弦分量的個數;η為歸一化因子,可表示為η=2(1-b2(D-2))/1-b2Nf(D-2);粗糙度1

上式所模擬分形粗糙海面的功率譜為負冪率譜,正好對應于穩態海譜PM 譜中的一段,它并不能反映真實海面的功率譜。PM 譜如下式所示[17]:

式中,g=9.81 m/s2, α=8.1×10-3, β=0.74, U19.5為海面19.5 m高處的風速,PM 譜中總有一個峰值,

其對應的波數為km,km=0.8772g/U219.5,風速越大,km越小,這表明海表面受兩種波共同影響,當k km時,短重力波及張力波起主要作用,功率譜滿足負冪率譜,這就啟發我們應用下面的改進一維分形模型來模擬實際海面,它表示為

式中,第一部分為Longuet-Higgins 海面模型[20],用η(x,t)表示,該模型把海上一固定點的水面波動用許多個隨機余弦波的疊加來描述,并假定只在平面內產生波浪,且波浪只有一個固定的前進方向,通常被稱為線性海浪;aj、ωj、kj、εj分別表示第j 個余弦組成波的振幅、圓頻率、波數和初始相位;x 為波點位置;t 為時間矢量;εj為在[0,2π]范圍內均勻分布的隨機數。嚴格地說, aj是服從雷利分布的隨機變量,且有E [ a2j] =2s(ωj)d ω。實際應用中 aj=2s(ωj)d ω,s(ωj)為所需模擬海浪的頻譜,稱為靶譜,于是可得Longuet-Higgins 模型海浪波面方程為N

Longuet-Higgins 模型在模擬海浪時采用的靶譜是穩態海譜P-M 譜,該譜由Pierson 和Moscowitz 在1964 年得到無因次譜,簡稱為PM 譜。PM 譜屬充分發展的海譜,公式如式(4)所示。在模擬海浪的過程中功率譜的頻率分隔采用頻率等分法或者能量等分法,前者雖然簡單,但得到的頻率序列是一個等差序列而不是一個隨機序列,不符合海浪的隨機性,而且波浪會以2π/Δω的周期重復出現,其中Δω為采用等分法的采樣間隔,而后者得到的頻率序列是隨機的,更符合海浪的實際情況,能量等分法是基于海浪功率譜建立的,選定的頻率使各頻率間隔的能量相等,即譜密度曲線下的子面積相等,具體方法如下。

定義累積譜:

由此有:

由能量分割思想,令式中,M 為等能量的份數,根據海浪功率譜通用表達式

可得

式中,A 和B 為常量,根據不同的功率譜選定不同的值。對于P-M 譜A=αg2,B =β(g/U19.5)4。

從以上分析可以看出,Longuet-Higgins 模型是基于穩態海譜建立的,能很好地反映長重力波的情況,在經典分形模型中加入Longuet-Higgins 模型解決了分形模型不能反映涌浪的情況,在求解時,Longuet-Higgins 模型中海譜波數的取值要小于譜峰值km。

3 分形海譜的求解

對改進分形模型的評價必須分析其分形海譜的形式,在求解的過程中取v =0, 求解海譜的步驟如下。

Step 1:求解改進模型的自相關函數ρξ(τ, t),并且只考慮海面在瞬態的情況,令 t =0,這時相關函數變為ρξ(τ, t)=ρξ(τ,0)。

Step 2:對相關函數進行Fourier 變換得到分形海譜S(k), 形式如下所示:

根據步驟1 求相關函數,其定義為

式中,Eε(·)和EФ(·)分別為變量εj和Фn的平均期望。當v=0 并且相位εj和Фn相互獨立時,把式(5)代入式(13)可得:

式中, x=x1-x2, t =t1-t2,并且假定時變海表面在短時間內為瞬時狀態,這時 t =0, x 用τ表示,這時式(14)變為

當τ=0 時,式(15)變為

根據步驟2 對相關函數進行Fourier 變換得到分形海譜S(k):

可得連續譜為

從式(20)可得改進分形海譜在波數0 ≤k

4 數值計算與分析

圖1 為不同風速下改進分形模型的功率譜、經典分形譜[14]與PM 譜[15]的比較。在圖1(a)中海面19.5 m高處的風速為10 m/s,尺度因子b=1.010 2,分形維數D=1.047,迭代次數Nf=400,N=50。圖1(b)中19.5 m高處的風速為15 m/s,其他參數不變。

圖1 不同風速下改進分形譜、經典分形譜與PM 譜的比較Fig.1 The comparison between improved fractal spectrum, classical fractal spectrum and PM spectrum in different wind speeds

從圖1 可以看出,在不同風速下,經典分形模型的功率譜密度函數只包含負冪率指數部分,只為PM譜的一部分,而改進分形模型的功率譜密度函數既包含正冪率部分又包含負冪率部分,并且和PM 譜的整體變化趨勢是一致的,只是在幅值上有差異,這是由于一維海浪得到的海譜只能描述某一方向海浪能量的變化,而不能表現全方位海譜能量的改變,因此海譜的幅值會有所降低。由以上分析可以說明,用式(5)替代經典分形模型式(1)來模擬實際動態海面的功率譜與實際海面的海譜更接近。

圖2 為不同風速下以P -M 譜為靶譜,迭代次數N=50 時,利用Longuet-Higgins 模型模擬的一維粗糙海面表面輪廓曲線。從圖中可以發現,Longuet-Higgins 模型模擬的海面只與風速有關,風速越大,海面起伏越大,是一種穩態的海浪狀態,只能描述重力波的狀態,不能表述毛細波的細微變化。

圖2 不同風速下Longuet-Higgins 模型模擬的一維海面輪廓Fig.2 One-dimensional sea surface based on longuet-higgins model in different wind speeds

圖3 為分形維數和尺度因子一定時,在不同風速下一維經典分形海面的輪廓曲線。從圖中可以發現,當風速越大時,粗糙面高度起伏越大,這與實際海面高度起伏與風速之間的變化是吻合的。

圖3 不同風速下一維經典分形模型模擬的一維海面輪廓Fig.3 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different wind speeds

圖4 和圖5 給出了不同尺度因子和分形維數下的一維經典分形海面的輪廓曲線,其中迭代次數Nf=400,風速為10 m/s,圖4 中尺度因子一定為1.2,分形維數分別為1.2 和1.8;圖5 中分形維數一定為1.3,尺度因子分別為1.2 和1.8。從圖4 可以很明顯地發現,分形維數越大,輪廓曲線在細節方面變化得越劇烈,即更能體現海浪毛細波的情況。從圖5可以看出,尺度因子越大,海面輪廓起伏越大,海面越平滑。從圖3、圖4 和圖5 可以得出,風速、分形維數D 和尺度因子b 是影響分形海面輪廓的3 個特征量,通過這3 個參量的變化來表現海浪表面的動態變化,能很好地表現海浪的細微結構。

圖4 不同分形維數下一維經典分形海面輪廓Fig.4 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different fractal dimensions

圖5 不同尺度因子下一維經典分形海面輪廓Fig.5 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different amplitude factors

圖6(a)和(b)分別利用改進分形模型與基于PM 譜的Longuet-Higgins 模型模擬的不同風速下一維粗糙海面表面輪廓曲線,其中b=1.2,D =1.2,迭代次數Nf=400,N =50。從圖中可以發現,改進分形海面表面輪廓的基波波浪同基于PM 譜的海面輪廓基本一致,但分形模型的小尺度波浪更加明顯,更能體現小尺度毛細波的情況,從而說明改進分形海面模型能更好地描繪海面的細微結構。

圖6 不同風速下改進分形模型與Longuet-Higgins模型海面表面輪廓比較Fig.6 The comparison between improved fractal model and Longuet-Higgins model in different wind speeds

為了體現分形維數和尺度因子對改進分形粗糙面的影響,圖7(a)的模擬參量在圖6(a)的基礎上,分形維數增大,值為1.8,圖7(b)的模擬參量在圖6(a)的基礎上,尺度因子變大,值為1.8。從圖7(a)和6(a)的比較可以看出,分形維數越大,海面越粗糙。從圖7(b)和6(a)的比較可以看出,尺度因子越大,海面起伏越大,海面越平滑,圖6 和圖7 基波波浪同基于PM 譜的海面輪廓仍保持一致。

圖7 不同分形參量下改進分形模型與Longuet-Higgins 模型海面表面輪廓比較Fig.7 The comparison between im proved fractal model and Longuet-Higgins model in different fractal parameters

從以上結果可以看出,改進分形海面模型既能表現大尺度涌浪的特性,即Longuet-Higgins 海面模型的特性,又能表現小尺度波浪的細微結構的動態變化,即分形模型的特性,能很好地表現海面的實際情況。

5 結束語

針對經典分形模型不能描述長重力波的問題,在經典分形海面模型中加入了穩態海浪即長重力波,使改進分形模型既具有長重力波特性的穩態特性,又保留了經典分形模型能描述海面短重力波和毛細波動態變化的特性,使改進分形模型更符合海面的實際情況。改進分形模型的功率譜既包含正冪律部分又包含負冪律部分,并且和P-M 譜整體變化趨勢是一致的,證明了模型的正確性。實驗結果有待于進一步的實驗驗證,所建模型可以推廣到海面建模、海洋測繪、電磁散射及海上目標跟蹤與識別的研究中。

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