深海系纜動張力的超諧動力響應

張若瑜，唐友剛，宋吉哲，劉利琴

（1天津大學建筑工程學院暨港口與海洋工程教育部重點實驗室，天津300072；2中國船級社天津分社，天津300457）

1 引 言

Spar平臺主體在風浪流的作用下一旦遇到極端海況，則會引起平臺發生大幅運動，一般認為，平臺浮體運動是引起系泊系統纜索動張力的主要原因。因此考慮平臺主體運動分析系泊系統的動力響應是十分重要的。Aamo[1]建立了在水中懸掛纜索有限元模型，用Morison公式計算纜索受到的水動力，忽略纜索附加質量，推導出了兩端固定的系纜運動方程，給出系統整體解的存在性和唯一性。Huang[2]用單自由度模型計算松弛張緊條件下系纜—浮體系統在垂蕩運動下的動力特性。Chen[3]基于細長桿理論用有限元方法建立了深海系泊系統模型，研究了系泊系統與平臺主體之間的動力相互作用。Kim[4]用等參曲線索單元計算幾何非線性有限元方程，求出單元切線剛度矩陣和質量矩陣，用罰函數法和載荷增量法確定初始平衡點，最終得到在水流，規則波和不規則波以及精確計算Morison力對海中纜索的作用。張素俠[5]綜合考慮系泊纜繩和系泊浮體的相互耦合作用以及纜繩的粘—彈特性，根據沖擊動力學理論建立纜繩—浮體系統沖擊之后和沖擊之前的運動方程，計算了不同參數條件下系泊纜索的動力響應。Sarkar[6]研究了在隨機波浪激勵下系泊浮體的非線性動力響應，并且在頻域內分析了由于海上平臺隨機運動引起的懸鏈系泊索的動力特性。杜度[7]應用時域仿真的方法研究了系泊系統的非線性動力學特性。以三階操縱運動方程為基礎，引入定常的風力、潮流作用力和二階波浪力，建立了系泊系統三自由度的運動微分方程。并在此數學模型的基礎上，建立了系泊系統的多自由度的計算機仿真模型。研究表明，系泊系統的動力學行為具有強烈的非線性特征。向溢[8]對系泊船舶纜繩張力的計算建立了數學模型。用蒙特卡洛算法對系泊非線性方程組進行了求解。該方法可用于求解船舶在風、浪、流聯合作用下纜繩的靜張力。肖越[9]采用在頻域內對浮體運動方程求解并將計算結果轉換為時域結果，同時與錨鏈線運動時域方程耦合求解錨泊浮體在限制工作水深的運動位移與錨鏈線上的張力。

目前對于纜動張力的研究，大部分基于單根纜的動張力分析，對于系泊纜群的動力響應計算，目前研究工作還很少。本文基于細長桿單元模型，考慮深海系泊索單元的幾何非線性，并且引入單元內張力一致假設，建立三維非線性細長桿單元剛度矩陣，并且實現與通用有限元軟件ABAQUS對本文單元的調用，研究具有數根系泊纜的系泊系統的動力響應特性。

2 細長桿模型的基本理論

在細長桿理論中，細長桿的形態是由其中心線位置表述的。桿的中心線則由空間曲線r s,( )t表示，如圖1所示，其中s為弧長，t為時間。曲線上任意點的單位切向量為r′，單位主法向量為r″，單位副法向量為r′×

模型單位弧長分段的力和彎矩的平衡方程可以寫為以下形式：

圖1 細長桿模型坐標系Fig.1 Coordinate of rod

其中，q為單位長度上的外力，F為軸線上合力，M為軸線上合彎矩，ρ為單位長度質量，m為單位長度上施加的彎矩，向量r上方的點“.”表示對時間求導，′表示對弧長s求導。對于等主剛度柔性桿，彎曲剛度沿副法線方向并且與曲率成正比，寫為：

由于纜索可伸長，設伸長條件為：

對于大多數海洋結構物而言，桿件（如系泊纜、立管及張力腿）上的外載荷是由周圍流體的靜水壓力、水動力以及自重引起的，因此（1）式中的q可以寫為：

其中，w為空氣中纜單位長度的重量，Fs為單位長度靜水壓力，Fd為單位長度水動力，由莫里森方程求得。最終得到在自重、靜水壓力和水動力聯合作用下纜索的方程有限元形式，寫為：

將（18）式和（19）式分別寫成一般二階微分方程和代數方程形式：

由（20）式可以看出，Mijlk為一般質量項，為附加質量項，為由彎曲剛度EI產生的剛度，為由纜索曲率及拉伸產生的剛度。對于二維問題，i，j=1，2；而三維問題 i，j=1，2，3；并且下標 l，k，s，t=1，2，3，4。或將（20）式和（21）式合并，寫成矩陣形式：

為了編寫本文單元程序，使有限元軟件計算結果更加穩定，減小計算規模，提高計算效率，本文假設系纜單元內部張力一致，因此將（21）式變換為：

（25）式為纜單元的動力微分方程。根據該方程，可以最終得到12×12剛度矩陣及質量矩陣，求解此方程，得到纜索單元結點動位移，再計算纜伸長量，由纜的截面幾何特性計算張力。

圖2 系泊系統有限元模型圖Fig.2 Finite element model of mooring system

3 系泊系統上端點升沉運動時纜索的動力響應

系泊系統模型如圖2所示，系纜為12根，分為四組，每組三根，為鏈—纜—鏈形式，上端為彈簧支座，以模擬由于平臺垂向運動而產生的浮力變化，底端鉸接，Spar平臺作業水深為1 800 m。采用文獻[8]系纜參數，如表1所示。

表1 系纜參數Tab.1 Parameters of mooring system

在系泊系統上端點施加最大幅值為0.086 m的垂向位移激勵，變化規律如圖3所示。圖4為z軸運動相圖。圖5為系纜上端點張力歷程，最大張力為2.37×106N。

從圖6可以看出，張力譜包含有激勵頻率成分以及4.6 rad/s高頻成分。

圖3 系泊系統上端點垂向位移時間歷程曲線Fig.3 Vertical displacement history of the upper point

圖4 系泊系統上端點垂向運動相圖Fig.4 Vertical motion phase graph of the upper point

圖5 系泊系統上端點張力歷程Fig.5 Tension history of the upper point

圖6 系泊系統上端點張力譜Fig.6 Tension spectra of the upper point

4 系泊系統上端點升沉、縱蕩及水流影響時的動力響應

假設水流沿x軸正方向傳播，系泊系統12根纜索布置以及x、y軸方向如圖7所示，z軸為與xy軸平面垂直向上方向，即水深方向。其中編號8的纜索在水流作用下，受到的張力最大。分別計算垂蕩幅值為0.089 m、縱蕩幅值為2.411 m、流速為0.5 m/s，以及垂蕩幅值為0.085 7 m，縱蕩幅值為21.7 m，流速為1.5 m/s，系纜上端點的x、z軸方向位移、速度以及第8號纜索受到的張力。

圖7 系纜布置圖Fig.7 Mooring system arrangement

4.1 縱蕩幅值2.411 m，垂蕩幅值0.089 m，流速0.5 m/s時動力響應

流速為0.5 m/s，水流傳播方向為x軸正方向，取法向拖曳力系數為1，切向拖曳力系數為0.01，取x方向位移振幅最大偏離平衡位置約2.411 m，z方向位移振幅最大偏離平衡位置約 0.089 m，變化規律如圖8和9。圖10及圖11分別為系泊系統上端點x軸方向及z軸方向相圖。其中，x軸方向最大速度為1.42 m/s；z軸方向最大速度為0.243 m/s。圖12和13分別為8號系泊索上端張力歷程及對應的頻譜圖，其中最大張力為2.604×106N。

從圖13可以看出，與不考慮水流作用時相比，系纜張力譜除了激勵頻率成分，還出現了2倍激勵頻率成分，高頻成分也有所變化。

圖8 系泊系統上端點x方向位移Fig.8 Displacement in x direction of the upper point

圖9 系泊系統上端點z軸方向位移Fig.9 Displacement in z direction of the upper point

圖10 系泊系統上端點x軸方向運動相圖Fig.10 Phase graph in x direction of the upper point

圖11 系泊系統上端點z軸方向運動相圖Fig.11 Phase graph in z direction of the upper point

圖12 8號系泊索頂端張力歷程Fig.12 Tension history of the upper point for No.8 cable

圖13 8號系泊索頂端張力頻譜圖Fig.13 Tension spectra of the upper point for No.8 cable

4.2 縱蕩幅值21.7 m，垂蕩幅值0.085 7m，流速1.5 m/s時動力響應

流速為1.5 m/s，水流傳播方向為x軸正方向，取法向拖曳力系數為1，切向拖曳力系數為0.01，取x方向位移振幅最大偏離平衡位置約21.7 m，z方向位移振幅最大偏離平衡位置約0.085 7 m，變化規律如圖14和15。圖16及圖17分別為系泊系統上端點x軸方向及z軸方向相圖。其中，x軸方向最大速度為17.87 m/s；z軸方向最大速度為0.236 m/s。圖18和19為第8號系泊索上端張力歷程及對應的頻譜圖，其中最大張力為3.703×106N。

圖14 系泊系統上端點x方向位移Fig.14 Displacement in x direction of the upper point

圖15 系泊系統上端點z軸方向位移Fig.15 Displacement in z direction of the upper point

圖16 系泊系統上端點x軸方向運動相圖Fig.16 Phase graph in x direction of the upper point

圖17 系泊系統上端點z軸方向運動相圖Fig.17 Phase graph in z direction of the upper point

圖18 8號系泊索頂端張力歷程Fig.18 Tension history of the upper point for No.8 cable

圖19 8號系泊索頂端張力頻譜圖Fig.19 Tension spectra of the upper point for No.8 cable

通過計算比較可以看出，三者垂蕩幅值比較接近，僅考慮主體垂蕩運動時，纜索張力幅值為2.37×106N；同時考慮系纜上端垂蕩、縱蕩運動和流速為0.5 m/s的海流共同作用時，纜張力幅值為2.604×106N，就此例而言，海流的影響使纜張力增加大約10%，因此在流速較低的情況下，海流的影響基本上可以忽略。當流速增大到1.5 m/s，纜張力增大為3.703×106N，這表明隨著海流流速增大，流速的影響才需要考慮。在我國南海環境條件下，流速達到1.5 m/s屬于一般情況，因此對于南海深水平臺動張力計算，考慮海流的影響是必要的。并且比較圖13與圖19可以看出，隨著水流速度的增加，2倍激勵頻率影響逐漸增大。

5 結 論

（1）在流速較低時，海流對張力幅值的影響基本上可以忽略，但是隨流速增大，海流對于張力幅值影響加大。

（2）海流對于纜索的影響包括張力幅值和張力響應的頻率兩個方面。由于海流影響，張力譜中出現兩倍激勵頻率成分，即出現兩倍超諧共振。并且隨著水流速度的增加，2倍激勵頻率影響逐漸增大。

（3）系纜的超諧動張力分量使得系纜張力產生高頻變化，對于纜索疲勞累積損傷具有重要影響，在系纜疲勞分析時應該予以考慮。

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