圓的切線及扇形圓錐計算與證明

劉祥偉

在圓一節教學中，切線有關的證明與計算，通常與勾股定理，垂徑定理及三角形全等或相似相結合，形成復雜、多變的題型。分析時要重點觀察已知條件間的關系，選擇定理進行線段或角的轉化，找出所求與已知的關系，從而轉化未知為已知，解決問題。因此，三角形在與圓有關的問題的證明與計算中，可謂是圓搭臺，三角形唱戲。其次，結合三角形全等、三角形相似、三角函數知識進行綜合分析，加強分析能力與運算能力及推理能力的培養。在進行圓知識教學與復習中，要充分考慮與中考考點相銜接的知識點的深化與探索。①掌握三角形中位線性質；②探索等腰、等邊、直角三角形性質；③探索兩個三角形全等及相似條件；④運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單問題；⑤了解弧、弦、圓心角、弦心距的關系；⑥知道圓周角與圓心角的關系及直徑所對圓周角為直角；⑦了解切線概念，知道切線與過切點的半徑互相垂直；⑧能判定一條直線是否是圓的切線。在接觸圓的切線證明與計算題時，要分清由已知條件證切線還是已知切線及其他條件進行相關計算。動筆前，要思考兩點；

①經歷直觀感覺、動手感知、理性思維、邏輯推理的活動過程，加強知識發展發生過程和滲透數學思想方法的教學。掌握三角形相似的判定，探尋證明三角形相似的一般規律，并能夠運用三角形全等及相似條件，配合圓周角、三角函數知識解決簡單問題。

②充分運用觀察、歸納、推理等手段進行合理分析，理出思路。掌握三角形相似的判定，感受數學學習中的合情推理的說服力，積極參與推理活動，培養推理能力，激發對數學的興趣是教學或復習中的重要環節。

[課程標準]重視讓學生經歷對圓性質的探索和證明的完整過程，讓學生通過對圓的探索，對幾何圖形的性質進行猜想，發現并加以證明。在教學任務的表述中，[課程標準]強調了合情推理、有條理的思考體會證明的必要性、初步的演繹推理能力和初步的公理化思想。

解法教法探究。直擊中考；選擇、填空考察、圓的概念、有關性質及計算公式等的基礎知識的基本運用，通過作圖、識圖、閱讀圖形、探索弧長、扇形及其組合圖形的面積計算方法和解題規律，正確區分圓錐及側面展開圖中各元素的關系是解決圓計算問題的關鍵。解答題考察圓的相關性質及三角形知識尤其是三角形相似的綜合能力運用。運用圓的有關性質以及計算公式和三角形的全等及相似進行簡單的幾何證明和幾何計算是中考熱點題型。

對于三角形與圓的相關計算與證明，教師引導學生做法如下；求解圓中相關線段的長度或角的大小時，往往需要過圓心作弦的垂線段，連接半徑構造直角三角形，從而運用勾股定理或銳角三角函數來解；或者把所求線段或角置于兩半徑和以兩半徑外端為端點的線段圍成的等腰三角形，運用等腰三角形的性質來解決問題。如果圖中有直徑，通常是構成直徑上的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角來解題。在證明圓中相關線段或角相等時，可將其置于相關三角形中，通過證明三角形全等來解決問題。若它所在三角形不全等，可找中間量或作輔助線構造全等三角形。見到切線要想到它垂直于過切點的半徑；若過切點有垂線則必過圓心；過切點有弦則想到圓心角、圓周角性質，可再聯想同圓或等圓中，弦、弧、圓心距等性質的運用。在證明直線為圓心的切線時，如果已知直線過圓上一點，則連接這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直。簡記為；連半徑證垂直。如果已知條件中不知直線與圓是否公共點，則過圓心作該直線的垂線段為輔助線，再證明垂線段長等于半徑長。簡記為。作垂直，證半徑。解答關于圓錐的側面展開圖計算問題時，應明確圓錐側面展開圖是扇形，這個扇形半徑等于圓錐母線長，弧長等于圓錐底面的周長。簡記為，扇形變圓錐，弧長等圓周長。

總之，通過具體例題，滲透這些知識點，使學生在解決圓的證明與計算能力方面得到綜合提高。

（作者通聯：725700陜西省旬陽縣雙河初中）