改進的快速復值FastICA算法研究

趙立權，于軾群

(1.東北電力大學信息工程學院，吉林吉林132012;2.中國聯通哈爾濱分公司，哈爾濱150001)

獨立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是解決盲源分離問題的主要方法之一，它僅利用信源信號非高斯相互統計獨立的假設條件，從接收到的混合信號中估計出信源信號。復值ICA算法是針對復值域信號的一種新的信號處理方法，目前主要應用于盲解卷積、無線通信、功能性核磁圖像處理、陣列信號處理等方面［1-4］。隨著ICA算法理論的逐漸發展和成熟，近些年來，復值ICA算法受到了越來越多學者的廣泛關注，涌現出許多優秀的算法［3-11］。復值快速獨立分量分析(Fast Independent Component Analysis，FastICA)一種典型的批處理固定點復值ICA算法［5］，后來的許多復值ICA算法都是在它的基礎之上發展起來的，典型的改進算法就是基于Huber M估計函數的復值ICA算法［7］，該算法相對原算法性能更好，為了進一步提高算法的性能，本文從復值ICA代價函數所采用的非線性函數角度出發，對穩健性更好Tukey雙權函數進行修正后作為代價函數的非線性函數，推導出運算速度更快的改進的復值ICA算法。

1 復值ICA數學模型

復值ICA的基本數學模型如下:

ICA的基本假設條件只是為了保證ICA算法有解，但是畢竟信源信號S和混合矩陣A都未知，因此通過ICA算法得到的信源信號的估計Y相對信源信號S存在一定的不確定性。例如式(1)可以寫成如下形式:

式中:Λ=diag(a1ejθ1，a1ejθ2，…，anejθn)，an和θn為任意不為零的值;Λ－1是Λ的逆矩陣;P是任意可逆的單位置換矩陣;P－1是P的逆矩陣。矩陣Λ和P是任意的，那么得到A'=AΛ－1P－1和S'=PΛS也是任意的，但是A'S'得到的混合信號X是固定的，所以復值ICA對接收到的信號X進行分離，得到的對信源信號的估計信號可能是S'或者S，S'和S的幅度、相位和順序不一樣，因此產生了復值ICA對信源信號估計的不確定性。在ICA研究中，人們更多關注的是信號的波形，只要分離信號和信源信號的波形一樣，就認為算法是有效的。

2 復值FastICA算法

復值FastICA算法是由赫爾辛基工業大學的Bingham和Hyv?rine仿照實值FastICA算法，提出的一種經典的針對復數信號ICA算法［5］。該算法是一種批處理的固定點迭代算法，算法不需要設置學習速率，收斂速度快。

復值FastICA算法和其它批處理ICA方法一樣，都需要對接收數據進行預處理。設n維接收信號X=［x1，x2，…，xn］T，為了簡便，假設接收信號X經過預處理后得到的白化信號為Z=BX，B為白化矩陣。對于白化后的信號的盲分離，復值FastICA算法選擇“自下而上”的ICA方法構造代價函數，在代價函數中采用非線性函數近似高階統計量。其代價函數定義為:

式中:G為非線性函數;W=［w1，w2，…，wn］T為n維的復值分離向量;Z為白化后的信號滿足E{ZZH}=I。在復值獨立分量分析中一般假設信源信號的幅值為1，WHZ是對信源信號的估計，因此也應滿足幅值為1的條件，即E{WHZ2}=E{WHZZHW}=WHW=1，W滿足歸一化條件。

在E{WHZ2}=WHW=I的約束條件下，復值FastICA算法代價函數為:

式中:β為拉格朗日乘子;采用牛頓迭代算法對代價函數式(4)進行優化，得到分離向量的迭代公式:

式中:g是G的導數，g'是g的導數。可選擇的三種非線性函數的具體表示式如下［5］:

3 改進的復值FastICA算法

復值FastICA算法的穩健性好壞取決于所采用的非線性函數，為了提高算法性能，文獻［7］提出了一種改進的復值FastICA算法，該算法采用Huber M估計函數作為代價函數中的非線性函數，相對原FastICA算法穩健性更好。其所采用的Huber M估計函數及其一、二階導數表達式如下:

雖然文獻［7］中采用的非線性函數結構簡單，但是由于其二階導數中存在求矩陣的逆，即“u－3/2”項，工程上實現矩陣逆運算比較復雜，而且增加了計算量。

為了避免矩陣求逆運算，減少計算量，提高算法運算速度，本文采用Tukey函數作為代價函數中的非線性函數［12］。在式(3)和式(5)式中，非線性函數均以估計函數的平方作為變量，為此本文對Tukey函數進行修正，將原變量看作是修正后變量的平方，即修正后的Tukey函數為

其中:g(u)和g'(u)分別為G(u)的一階和二階導數。從上式數學表達式可以看出，修正后的Tukey函數的導數不含有矩陣求逆運算，因此減少了計算量。

圖1是Tukey函數和Huber函數及其一階和二階導數，其中Tukey函數閾值a=2，Huber函數閾值θ=0.9(文獻［7］中取θ=0.9性能比較理想)。從圖中可以看出，Tukey函數及其導數在超過閾值后為常數，因此對超過閾值的奇異值點有較好抑制性。而Huber函數超過閾值后為直線，因此對奇異值點抑制性能較差。

圖1 非線性函數及其導數

4 實驗仿真和結果分析

實驗仿真中，采用獨立分量分析算法中常用的

性能指標(Performance Index，PI)作為評價函數，用來度量算法誤差大小的標準，其具體表達式如下:

式中:C=WHBA，W是白化后信號的分離矩陣，B是白化信號，A是混合矩陣。性能指標J的取值越小，表示分離誤差越小。

實驗1驗證算法的有效性。

信源信號為一個exp(j100πt)、一個BPSK信號和一個QAM信號，采樣點為1 000點，隨機產生復值混合矩陣A為:

圖2 信源信號

圖3 復值混合信號

圖2是信源信號的波形圖，圖3是混合信號，圖4是從復值混合信號中分離出的信號，即信源信號的估計信號。圖4第一個圖和圖2的第二個圖對應、圖4的第二個圖和圖2的第三個圖對應、圖4的第三個圖和圖2的第一圖對應。對比圖4和圖2可以看出，分離信號和信源信號波形基本一樣，證明了算法的是有效的，同時二者之間存在順序、相位的不確定性，該不確定性是復值ICA固有不確定性，通過進一步處理后并不影響實際應用。

圖4 信源信號的估計信號

實驗2驗證算法的性能。

為了從統計角度驗證算法的性能，在實驗1信源信號的基礎上，進行1 000次運算取平均值，每次運算的復值混合矩陣都隨機產生，其中基于Huber函數的FastICA算法門限值取θ=0.9，原FastICA算法采用G1(y)=(a+y)0.5，因為文獻［7］仿真證明此時這個兩種算法性能比較好。本文提出的基于Tukey函數的FastICA算法門限取。

圖5 采樣與性能指標直方圖

圖6 采樣點與運行時間關系曲線

圖5是采樣點與性能指標關系直方圖。從圖中可以看出，在較低采樣點時本文提出基于Tukey函數的復值ICA算法誤差新能要好于其它算法，但是隨著采樣點數量的增加，本文算法誤差性能與基于Huber函數的復值ICA算法基本一樣，但是始終都比原FastICA算法性能要好。

圖6是得到圖5性能時算法收斂所需的平均運行時間與采樣點關系曲線，從曲線可以看出三種算法中，本文算法的運行時間最短，證明了本文算法的計算量小。綜合圖5和圖6可得，本文算法誤差性能與基于Huber函數的復值ICA算法性能相當，但是比其運行時間短，也就是計算量小。而且在低采樣時，本文算法誤差最小。

4 結束語

本文在復值FastICA算法的基礎上，提出了一種改進的復值FastICA算法。本文算法誤差性能好于原復值FastICA算法，與基于Huber函數的復值ICA算法相比，本文算法在采樣點較少時誤差性能更好，大采樣點時基本一樣，但是本文算的運算時間明顯小于原FastICA算法及基于Huber函數的復值ICA算法，即本文算法的計算量更小。

［1］H Li，M Correa.Application of Independent component analysis with adaptive density model to complex-valued FMRI data［J］.IEEE Transactions on biomedical engineering，2011，58(10):2794-2803.

［2］L Wang，H Ding，F Yin.Combining superdirective beamforming and frequency-domain blind source separation for highly reverberant signals［J］.EURASIP Journal on Audio，Speech，and Music Processing，2010(1):1-13.

［3］H shen，M Kleinsteuber.Complex blind source separation via simultaneous strong uncorrelating transform［C］.LVA/ICA＇10 Proceedings of the 9th international conference on Latent variable analysis and signal separation.Belin Heidelberg，2010:287-294.

［4］付衛紅，楊小牛，劉乃安，等.通信偵查中通信復信號的盲源分離算法［J］.四川大學學報，2008，40(1):118-121.

［5］E Bingham，E Hyvarinen.A fast fixed-point algorithm for independent component analysis of complex valued signals［J］.Internation Journal of Neural Neural Systems，2000，10(1):1-8.

［6］Eriksson J，Koivunen V.Complex random vectors and ICA models:identifiability，uniqueness，and separability［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(3):1017-1029.

［7］C Jih-cheng，S Douglas.A Robust complex FastICA algorithm using the Huber M-Estimator Cost function［C］.ICA2007，UK，London，2007:152-160.

［8］S Javidi，P Mandic.Complex blind source extraction form noisy mixtures using second-order statistics［J］.IEEE transaction on circuits and systems，2010，57(7):1404-1416.

［9］Novey M.Adali T.Complex ICA by Negentropy Maximization.Neural Networks［J］.IEEE Transactions on neural networks，2008，19(4):596-609.

［10］付衛紅，楊小牛，劉乃安，等.基于變步長最優化的EASI盲源分離算法［J］.四川大學學報，2008，40(1):118-121.

［11］林秋華，李鏡.基于ICA-R的復值信號抽取方法［J］.大連理工大學學報，2008，48(6):919-925.

［12］A Asad，F Muhammad.A modified m-estimator for the detection of outliers［J］.PJSOR，2005，1(1):49-64.