水下聲散射問題的奇異積分研究

（海軍工程大學(xué)理學(xué)院 武漢 430033）

0 引 言

水下目標(biāo)聲散射特性研究是水聲技術(shù)中的重要課題，主要研究方法有高頻近似方法和低頻數(shù)值方法．隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，低頻數(shù)值方法在聲散射特性研究中得到快速發(fā)展．邊界元法作為一種水下聲散射問題研究中常用方法，具有降低問題空間維數(shù)、自動(dòng)滿足Helmholtz方程等優(yōu)點(diǎn)，但是存在兩個(gè)數(shù)值計(jì)算上的難點(diǎn)，一個(gè)是奇異積分、近奇異積分的計(jì)算，主要的解決方法有坐標(biāo)變換方法、Roberto D G提出的利用梯度定理消除積分奇異性方法、基于Cauchy主值積分的Gauss積分法等，另一個(gè)是Helmholtz外問題在特征頻率處解的非唯一性問題，主要有CHIEF方法和B－M方法等．

當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于源域內(nèi)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生奇異積分的元素；當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)和源域十分接近但不在源域內(nèi)時(shí)的積分，則會(huì)產(chǎn)生近奇異積分的元素，從理論上說，此時(shí)積分是非奇異的，但從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)接近源域時(shí)，被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)變化非常迅速，而且場(chǎng)點(diǎn)和源域距離越近，積分值變化越劇烈．當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)充分遠(yuǎn)離源域時(shí)，可以通過Gauss積分公式計(jì)算得到準(zhǔn)確結(jié)果，然而隨著場(chǎng)點(diǎn)逐漸接近源域，通過Gauss積分公式計(jì)算得到的結(jié)果精度會(huì)急劇降低，這就是所謂的“邊界層效應(yīng)”．

對(duì)于邊界元法中奇異積分和近奇異積分，采用全局法（global approach）加以解決，推導(dǎo)得到了積分的數(shù)值計(jì)算表達(dá)式，通過該表達(dá)式計(jì)算邊界元法中的積分，對(duì)剛性球的水下散射特性進(jìn)行了仿真研究，仿真結(jié)果證明了本文方法的有效性和正確性，且較坐標(biāo)變換方法等常用于奇異積分計(jì)算的方法具有計(jì)算效率高、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)．

1 聲散射特性研究的建模方法

Kirchhoff表面積分方程在平面波入射下，任意形狀、任意表面阻抗目標(biāo)表面的散射聲場(chǎng)經(jīng)離散化處理后為［1－2］

通過3ds max將目標(biāo)表面離散為N個(gè)三角形面元，通過（1）式得到一個(gè)N×N的關(guān)于ps矩陣方程組，計(jì)算該方程組即可得到ps值，將ps代入Kirchhoff外部積分方程即可計(jì)算得到空間中任意一點(diǎn)的散射聲場(chǎng)值．矩陣系數(shù)的數(shù)值計(jì)算難點(diǎn)是兩類靜態(tài)項(xiàng)積分的計(jì)算，即

2 積分方程中兩類積分的計(jì)算

對(duì)于度為α的齊次函數(shù)積分I在積分區(qū)域S內(nèi)的積分

式中：z0為常數(shù)．式（3）即為全局積分方法將面積分轉(zhuǎn)變?yōu)榍€積分的公式．為便于處理，將S做平移變換（－u0，－v0），變換后O為三角形的重心就滿足了齊次性的要求，可以通過全局法計(jì)算．

圖1 第i個(gè)三角形坐標(biāo)變換后的積分區(qū)域S′

根據(jù)式（3）有

使用全局法處理后，積分由最初的面積積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算沿三角形單元邊界的線積分，線積分方向取逆時(shí)針．見圖1．因此P3在局部坐標(biāo)系（O；x，y，z）中的落點(diǎn)對(duì)積分計(jì)算影響較大，下面進(jìn)行說明．為了方便處理，采用局部坐標(biāo)系來進(jìn)行說明，以三角形面元一條邊做x軸，取與其垂直的為y軸．設(shè)三角形單元3個(gè)頂點(diǎn)為Pi（xi，yi，zi），i＝1，2，3，坐標(biāo)變換后3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P′1（－u0，－v0），P′2（l3－u0，－v0），P′3（u3－u0，v3－v0）．

經(jīng)過上述處理后，邊界元法中面積分就轉(zhuǎn)化為線積分，通過處理化成為閉合數(shù)值表達(dá)式，提高了邊界元的計(jì)算效率；由于積分計(jì)算過程中并沒有采用近似計(jì)算，計(jì)算精度很高．

根據(jù)式（8），式（9）即可計(jì)算得到奇異積分I1的數(shù)值．

第一部分可以通過2．2節(jié)的計(jì)算結(jié)果求解，下面對(duì)第二項(xiàng)的數(shù)值計(jì)算進(jìn)行研究．

代入式（11）即可得到積分I2的數(shù)值．

2.4 數(shù)值算例

表1 I1與坐標(biāo)變換方法比較

3 仿真算例與結(jié)果分析

用剛性球的目標(biāo)強(qiáng)度來檢驗(yàn)方法的正確性和可行性，在全波數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)半徑為1的剛性球的后向散射強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算．目標(biāo)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，入射波為平面波，方位角α＝π，極角β＝，介質(zhì)密度為1 040kg／m3，聲速為1 460m／s，接收點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為20m．將第2節(jié)的結(jié)論計(jì)算邊界元法中積分，使用Matlab軟件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果見圖2．

圖2 剛性圓球后向散射強(qiáng)度

板塊元法（planar element method，PEM）是目前最常用的高頻近似計(jì)算方法，Rayleigh簡(jiǎn)正級(jí)數(shù)解，是剛性球回聲強(qiáng)度的理論解析值．由于邊界元法在特征頻率處存在解的非惟一性，通過引入CHIEF方法有效克服了這一缺點(diǎn)．?dāng)?shù)值計(jì)算結(jié)果在低、中頻處與解析值一致性很好，計(jì)算精度很高，計(jì)算精度、計(jì)算速度都明顯優(yōu)于板塊元法；當(dāng)ka逐漸增大時(shí)，誤差逐漸增大，這主要是高頻處需要的離散單元數(shù)更多才能滿足和低、中頻相同的精度要求．因此邊界元法用于低、中頻處的散射特性研究是一種很有前途的方法．

4 結(jié)束語(yǔ)

全局法提供了一種全新的奇異積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法，通過與坐標(biāo)變換方法的奇異積分計(jì)算結(jié)果比較證明了本方法的正確性，且計(jì)算精度很高；通過全局法將面積分轉(zhuǎn)化為沿邊界計(jì)算的線積分，從而得到了閉合計(jì)算表達(dá)式，提高了積分的計(jì)算效率．仿真結(jié)果表明，將本文的積分計(jì)算公式用于水下散射聲場(chǎng)計(jì)算中，解決了系數(shù)矩陣中存在的奇異積分、近奇異積分，提高了邊界元法的計(jì)算效率，且在低、中頻處得到的數(shù)值精度非常高．

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