空間熱載荷作用下星載天線耦合動(dòng)態(tài)影響分析

游斌弟，趙志剛，李文博，趙 陽

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）船舶與海洋工程學(xué)院，威海 264209；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

星載天線是依附在衛(wèi)星上用來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)指向的空間機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于國外數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星和通信衛(wèi)星［1］。2003年中國航天科技集團(tuán)在中星22上首次采用了自主研發(fā)的偏饋雙反射面Ka可移點(diǎn)波束天線，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星天線的定位跟蹤運(yùn)動(dòng)［2］。

天線結(jié)構(gòu)暴露在外層空間，長期經(jīng)受太陽輻射、深冷空間周期性作用，引起溫度劇烈變化，會(huì)在反射器的正面與背面產(chǎn)生不均勻的溫度變化。隨時(shí)間變化的溫度梯度，使得天線工作產(chǎn)生較大的熱變形或熱振動(dòng)，導(dǎo)致天線指向精度嚴(yán)重下降，無法正確接收或發(fā)送信息和指令，甚至引起航天器在軌姿態(tài)變化［3-4］，為此，本文考慮空間熱載荷作用下對(duì)星載天線動(dòng)態(tài)影響。

目前，研究溫度與變形相互耦合的熱彈動(dòng)力學(xué)方法較為成熟。Sundaresan［5］應(yīng)用非線性應(yīng)變位移關(guān)系，分析了溫度時(shí)變規(guī)律已知情況時(shí)，得到熱彈耦合結(jié)構(gòu)剛度矩陣；Wu［6］基于梁變形的線彈性假設(shè)，研究了熱載荷作用下柔性梁的動(dòng)力學(xué)特性；Singha［7］用有限元法研究了復(fù)合材料板大范圍的柔性自由振動(dòng)；Ribeiro［8］研究了熱載荷作用下四邊固支圓柱殼在振動(dòng)特性。丁勇等［9-10］構(gòu)造了一種薄壁圓管溫度傅里葉 -有限單元，分析了哈勃太空望遠(yuǎn)鏡一塊太陽能帆板的溫度場和彎曲位移場和大型空間結(jié)構(gòu)熱-動(dòng)力學(xué)耦合有限元分析；程樂錦等［11］分析復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)給出了熱動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)熱動(dòng)力學(xué)耦合效應(yīng)和熱誘發(fā)振動(dòng)穩(wěn)定性的決定因素是結(jié)構(gòu)參數(shù)及加熱條件。然而上述研究都局限與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，為了進(jìn)一步研究在熱載荷作用下作大范圍運(yùn)動(dòng)的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題，Johnston［12］研究了在溫度時(shí)變規(guī)律已知的情況下太陽能帆板的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性，但沒有考慮非線性效應(yīng)；Saniei［13］考慮了幾何非線性效應(yīng)，研究了非均勻溫度分布的高速轉(zhuǎn)子的頻率特性；Oguamanam［14］建立了熱流作用下中心剛體-薄板的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了運(yùn)動(dòng)過程中的非線性效應(yīng)。劉錦陽等［15-17］從非線性應(yīng)變-位移關(guān)系式出發(fā)，用虛功原理建立了熱載荷作用的柔性梁/板的熱傳導(dǎo)方程和旋轉(zhuǎn)剛體-梁系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程。然而，目前考慮熱載荷因素只局限于單個(gè)物體的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析，未能推廣到多體系統(tǒng)中，尚未建立熱載荷情況下殼體的剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)模型。

針對(duì)以上情況，本文根據(jù)天線反射面的幾何特性，采用離散化的殼體單元，考慮殼體溫度沿厚度方向變化，推導(dǎo)了有限元離散化的熱傳導(dǎo)方程。在此基礎(chǔ)上，從應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系出發(fā)，利用拉格朗日方程推導(dǎo)了熱載荷作用下大范圍運(yùn)動(dòng)的星載天線剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，研究了熱沖擊作用下柔性反射面形面變形和系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)特性的影響，為進(jìn)一步提高天線的指向精度奠定理論基礎(chǔ)。

1 反射面有限元離散化熱傳導(dǎo)方程

星載天線在軌運(yùn)行時(shí)承受著時(shí)刻變化的熱載荷，對(duì)于在軌的某一時(shí)刻，由于衛(wèi)星本體姿態(tài)及天線指向的不同受到不同的熱載荷，且熱載荷不均勻造成溫度分布不均衡，導(dǎo)致變形受到約束，引起熱應(yīng)力的產(chǎn)生。根據(jù)天線拋物反射面的材料特性和幾何特點(diǎn)，基于薄殼殼體有限元單元法對(duì)拋物反射面進(jìn)行溫度場分析，為星載天線剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模的提供理論基礎(chǔ)。

1.1 幾何描述

天線反射面是由二次曲線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，其厚度遠(yuǎn)小于口徑尺寸，可認(rèn)為薄殼結(jié)構(gòu)，利用殼體單元對(duì)反射面進(jìn)行離散化，如圖1所示，為了較準(zhǔn)確地描述反射面的幾何形狀，將（ξ，η）定義為反射面上的自然坐標(biāo)，ζ為厚度方向坐標(biāo)，且-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1。因此，殼體內(nèi)任意一單元的變形坐標(biāo)列陣δ可近似表示為：

圖1 反射面殼體單元描述Fig.1 Shell element description of antenna reflector

或?qū)懗桑?/p>

1.2 熱彈性方程

對(duì)于連續(xù)拋物面薄殼殼體，材料為各向同性，根據(jù)基爾霍夫-勒夫的切面應(yīng)力假設(shè)，其法向應(yīng)力為零，橫向位移獨(dú)立于厚度，σz=0，τxz=τyz=0，則應(yīng)變和應(yīng)力列陣ε、σ分別為：

滿足本構(gòu)關(guān)系：

式中：

其中E和μ分別為材料的彈性模量和泊松比；ε0為溫度變化引起的熱應(yīng)變，可表示為：

式中：α為熱膨脹系數(shù)；T和T0分別為柔性反射面上任意一點(diǎn)的溫度和參考溫度。在線彈性假設(shè)下，應(yīng)變與變形的關(guān)系式為：

1.3 有限元離散的熱傳導(dǎo)方程

在空間環(huán)境下，星載拋物反射面內(nèi)部產(chǎn)生較大的溫度變化，其溫度在反射面厚度方向上呈現(xiàn)非線性變化，如圖1所示。因此，在厚度方向上采用二次函數(shù)g（ζ）進(jìn)行插值，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，分別反應(yīng)反射面正面s1、中面s2和背面s3的溫度T1、T2和T3，則任意一單元溫度T為：

其中：

或者寫成：

式中：［N'］=［g1g2g3］［N1N2…Nn］，{T}e為單元溫度列陣。

則任意一單元平均溫差ΔT為：

根據(jù)伽遼金法，可得單元內(nèi)的加權(quán)積分的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程為：

由于天線在軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到太陽熱流載荷S0的作用，設(shè)S0的方向與反射面的夾角為γ，如圖2所示，γ隨著天線指向位置變化而變化。則反射面上任一微元ds受到的太陽輻射外熱流q可表示為：

圖2 太陽輻射外熱流Fig.2 External thermal flux of solar radiation

式（12）按單元有限元方程進(jìn)行集成，得到整體溫度場的微分方程：

其中：C、KT、RT和F分別為整體熱容矩陣、熱傳導(dǎo)矩陣、熱輻射矩陣和熱載荷矩陣。

2 星載天線剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

在星載天線動(dòng)力學(xué)建模中，作如下假設(shè)：

（1）衛(wèi)星本體為漂浮基座；

（2）星載天線機(jī)構(gòu)（除了反射面）視為剛體；

（3）關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)不考慮間隙非線性影響；

（4）反射面與天線轉(zhuǎn)軸末端剛性連接在一起；

（5）不考慮太空微重力作用影響；

（6）柔性反射面發(fā)生小變形，其彈性變形可認(rèn)為線性變形。

根據(jù)模型假設(shè)，建立旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸線為z方向，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)角為θ1，θ2，天線轉(zhuǎn)軸末端坐標(biāo)系∑e；建立慣性坐標(biāo)系∑0、本體坐標(biāo)系∑B和各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系∑i，其中本體坐標(biāo)系∑B中x軸為滾動(dòng)軸，y軸為俯仰軸，z軸為偏航軸（如圖3）。在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{∑i}中，原點(diǎn)固定在關(guān)節(jié)i，軸固結(jié)在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{∑i}的原點(diǎn)，關(guān)節(jié)i均為理想約束。

圖3 星載天線的動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of satellite antenna

由圖3可知，柔性反射面未變形A點(diǎn)，當(dāng)發(fā)生熱彈性變形δ時(shí)變?yōu)锳'點(diǎn)，假設(shè)反射面的彈性變形量小于其壁厚的1/10，可認(rèn)為是線性變化。

下面將對(duì)系統(tǒng)能量和外載荷描述，利用柔性反射面的離散化單元信息，建立考慮熱載荷的星載天線耦合動(dòng)力學(xué)模型。

（1）衛(wèi)星本體和轉(zhuǎn)軸的動(dòng)能Tbm和勢能Vbm：

（2）柔性反射面動(dòng)能Ta：

式中：Mjk（j=b，θ，u；k=b，θ，u）的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)［18］。

（3）熱彈性變形引起柔性反射面勢能Va：

由式（1）、式（5）和式（17），可知，非線性耦合彈性剛度陣Ku和熱彈性力FT分別為：

最后利用Lagrange方程，得出整個(gè)星載天線的動(dòng)力學(xué)方程：

式中：cb，cm，cu分別為衛(wèi)星本體、轉(zhuǎn)軸、柔性反射面模態(tài)坐標(biāo)的速度非線性項(xiàng)；Fb，τ分別為衛(wèi)星本體控制力/力矩及轉(zhuǎn)軸關(guān)節(jié)控制力矩；JTbh為轉(zhuǎn)軸末端相對(duì)衛(wèi)星本體雅可比矩陣；JTmh為轉(zhuǎn)軸末端相對(duì)關(guān)節(jié)雅可比矩陣；Fh為外力/力矩。

3 空間熱載荷對(duì)星載天線影響分析

星載天線機(jī)構(gòu)由衛(wèi)星本體、天線轉(zhuǎn)軸、反射面以關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)鉸鏈接而成，其中天線剛性連接在天線轉(zhuǎn)軸末端上（如圖3）。主要物理參數(shù)見表1（國際單位），每個(gè)剛體質(zhì)心在其幾何中心ai=bi=0.5。

表1 星載天線機(jī)構(gòu)物理參數(shù)Tab.1 Parameters of satellite antenna

初始參數(shù)：衛(wèi)星本體位置及速度均為0；轉(zhuǎn)軸關(guān)節(jié)角θ1=θ2=0，各關(guān)節(jié)速度均為0，衛(wèi)星本體控制力/力矩Fb和外力/力矩Fh均為0，關(guān)節(jié)力矩τ1=5 N·m，τ2=10 N·m，仿真步長 0.001 s；仿真時(shí)間 5 s。

圖4 反射面有限元離散化Fig.4 Finite element discretization of antenna reflector

為了方便計(jì)算，本文將天線面的節(jié)點(diǎn)受空間環(huán)境作用達(dá)到的溫度T∞分別設(shè)定為200 K、300 K、400 K，研究這三種工況時(shí)星載天線在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的作用下，反射面位置隨著天線指向角的變化而受到不同的熱載荷情況。圖5為反射面殼單元110的溫差變化過程，可知，隨著環(huán)境溫度的升高，其反射面的正面、中面和反面產(chǎn)生的溫差呈現(xiàn)幅值升高。

圖5 反射面殼單元110溫差變化Fig.5 Temperature difference of flexible antenna reflector（Element 110）

以柔性拋物反射面的殼單元110為分析對(duì)象，如圖6所示。在初始時(shí)刻關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ突變啟動(dòng)下，激發(fā)了柔性發(fā)射面的小幅振動(dòng)幅值和彈性變形，隨著力矩τ的持續(xù)作用，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速增大，導(dǎo)致非線性項(xiàng)cu增大，造成高頻抖動(dòng)；另外，在T∞為200 K、300 K和400 K的情況下，溫度增高引起拋物面反射不均勻溫度梯度，引起的熱應(yīng)變?cè)斐煞瓷涿鏆んw的軟化效應(yīng)，由圖6可知，隨著太空環(huán)境溫度T∞增大，則非線性耦合剛度Ku的軟化效應(yīng)愈顯著，熱膨脹引起的應(yīng)力增大，使得殼體的彈性變形的波動(dòng)幅值越來越大，產(chǎn)生不穩(wěn)定振動(dòng)，這是由于結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生瞬變熱流，導(dǎo)致了反射面截面內(nèi)的溫度梯度，引起了動(dòng)態(tài)的溫度載荷，與結(jié)構(gòu)變形發(fā)生耦合，誘發(fā)耦合顫振。

圖6 柔性反射面（單元110）彈性變形量Fig.6 Elastic deformation of flexible antenna reflector（Element 110）

為了分析柔性反射面對(duì)天線轉(zhuǎn)軸指向的影響，如圖7至圖9所示，分別考慮T∞為200 K、300 K和400 K的情況下，天線轉(zhuǎn)軸沿著θ1、θ2運(yùn)動(dòng)。由圖7可知，由于轉(zhuǎn)軸末端與反射面固結(jié)，天線轉(zhuǎn)軸指向直接受到反射面彈性變形的影響，在指向過程初期，發(fā)生小幅值擾動(dòng)，此時(shí)曲線基本重合，即天線工作初期溫度增高引起的熱膨脹對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響很小。經(jīng)過1.5 s后，隨著角速度的增大，其震蕩幅值變大，說明熱效應(yīng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有著顯著的影響。由圖8、圖9可知，擾動(dòng)幅值小，頻率低，對(duì)天線轉(zhuǎn)軸角速度和指向角將產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)偏差，隨著驅(qū)動(dòng)力矩和熱載荷的持續(xù)作用，其天線指向角偏差越來越大，t=5 s時(shí)，T∞=200 K與400 K 產(chǎn)生的θ1偏差為 0.927 deg，θ2偏差為 -0.775 deg，嚴(yán)重降低了天線指向精度，因此空間熱效應(yīng)對(duì)天線指向精度影響不可忽略。

如圖10至圖12所示，分別考慮T∞為200 K、300 K和400 K的情況下衛(wèi)星本體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，由圖10可知，由于衛(wèi)星本體的質(zhì)量相對(duì)于其它部件質(zhì)量大的多，考慮熱效應(yīng)的反射面擾動(dòng)對(duì)衛(wèi)星本體的影響較小，但呈現(xiàn)相應(yīng)的波動(dòng)差異，發(fā)生小幅的低頻抖動(dòng)。由圖11、圖12可知，由于溫差引起的熱載荷作用在反射面上，產(chǎn)生的作用很小，且其姿態(tài)角和角速度為光滑曲線，說明反射面的熱效應(yīng)對(duì)衛(wèi)星本體的角速度和姿態(tài)角影響不大，但隨著時(shí)間的持續(xù)作用，其衛(wèi)星姿態(tài)角偏差將變大。

綜上所述，在不同的空間熱環(huán)境下，反射面隨著指向位置的變化產(chǎn)生不均勻的溫度梯度，進(jìn)而產(chǎn)生熱應(yīng)力、熱變形；在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和熱載荷耦合作用下，激發(fā)柔性反射面震蕩，引起了自身的彈性振動(dòng)，其彈性振動(dòng)進(jìn)而又影響了整個(gè)星載天線的動(dòng)態(tài)性能，因此，研究大范圍運(yùn)動(dòng)的星載天線動(dòng)力學(xué)特性，必須考慮柔性反射面熱效應(yīng)與彈性變形的耦合作用。

4 結(jié)論

（1）根據(jù)天線拋物反射面薄殼特點(diǎn)，從應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，利用殼體單元的有限元離散化，考慮殼元厚度方向溫度變化，且其厚度方向上采用二次函數(shù)進(jìn)行插值，推導(dǎo)了反射面各個(gè)單元瞬態(tài)溫度有限列式，并結(jié)合熱彈性動(dòng)力學(xué)理論，建立了反射面熱傳導(dǎo)方程；

（2）考慮星載天線的熱效應(yīng)因素，利用反射面的應(yīng)變能表達(dá)式并結(jié)合拉格朗日法建立大范圍運(yùn)動(dòng)的剛?cè)狁詈闲禽d天線的多體動(dòng)力學(xué)方程，研究了溫度載荷引起的非線性耦合彈性剛度陣Ku和熱彈性力FT變化對(duì)星載天線的動(dòng)力學(xué)特性影響很大，其熱彈耦合效應(yīng)不能忽視；

（3）考慮了空間環(huán)境的熱效應(yīng)，對(duì)漂浮基星載天線系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，結(jié)果表明，隨著溫度梯度的增大，引起了動(dòng)態(tài)的溫度載荷，與結(jié)構(gòu)變形發(fā)生耦合，誘發(fā)耦合顫振，加劇柔性反射面的彈性振動(dòng)，使得反射面與天線轉(zhuǎn)軸、衛(wèi)星本體的速度非線性耦合作用變大，其抖動(dòng)的頻率和幅值變大，造成衛(wèi)星姿態(tài)和天線指向的擾動(dòng)，嚴(yán)重降低了星載天線的指向精度。

［1］趙 陽，白爭鋒，王興貴.含間隙衛(wèi)星天線雙軸定位機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真分析［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31（6）：1533-1539.

［2］孫 京，馬興瑞，于登云.星載天線雙軸定位機(jī)構(gòu)指向精度分析［J］.宇航學(xué)報(bào)，2007，28（3）：545-550.

［3］Chung P W，Thornton E A.Torsional buckling and vibrations of a flexible rolled-up solar array［A］.AIAA，1995：1654-1664.

［4］Murogona M，Thornton E A.Buckling and quasistatic thermal-structural response of asymmetric rolled-up solar array［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1998，35（2）：147-155.

［5］Sundaresan P，Singh G，Venkateswara Rao G.A Simple approach to investigate vibratory behavior of thermally stressed laminated structures［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，219（4），603-618.

［6］Wu G Y.Transient vibration analysis of a pinned beam with transverse magnetic fields and thermal loads［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2005，127（3），247-253.

［7］ Singha M K，Nonlinear vibration of symmetrically laminated composite skew platesby finite elementmethod［J］.International Journal of Non-linear Mechanics，2007，42（9）：1144-1152.

［8］ Ribeiro P.Non-linear vibrations of laminated cylindrical shallow shells under thermomechanical loading［J］.Journal of sound vibration，2008，315（3）：626-640.

［9］丁 勇，薛明德.輻射換熱條件下空間薄壁圓管結(jié)構(gòu)瞬態(tài)溫度場、熱變形有限元分析［J］.宇航學(xué)報(bào)，2002，23（5）：49-56.

［10］丁 勇，薛明德，姚海民.空間薄壁管結(jié)構(gòu)瞬態(tài)溫度場、熱變形有限元分析［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20（1）：42-48.

［11］程樂錦，薛明德.大型空間結(jié)構(gòu)熱動(dòng)力學(xué)耦合有限元分析［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，44（5）：681-688.

［12］ Johnston J D，Thornton E A.Thermally induced attitude dynamics of a spacecraft with a flexible appendage［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1998，21（4）：581-587.

［13］ Saniei N，Albert C，Luo J.Thermally induced nonlinear vibrations of rotating disks［J］.Nonlinear Dynamics，2001，26（4）：393-409.

［14］ Oguamanam D C D，Hansen J S，Heppler G R.Nonlinear transient response of thermally loaded laminated panels［J］.Journal of Applied Mechanics，2004，71（1）：49-56.

［15］劉錦陽，袁 瑞，洪嘉振.考慮幾何非線性和熱效應(yīng)的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29（1）：73-77.

［16］劉錦陽，袁 瑞，洪嘉振.考慮熱效應(yīng)的柔性板的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，42（8）：1226-1237.

［17］劉錦陽，崔 麟.熱載荷作用下大變形柔性梁剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22（1）：48-53.

［18］游斌弟，趙志剛，趙 陽.柔性天線面對(duì)漂浮基星載天線擾動(dòng)分析及抑制［J］.航空學(xué)報(bào)，2010，31（12）：2348-2356.