聲子晶體平板組合成像特性分析

覃世冬，鄧芳圓，劉紹娥，李曉春，，周科朝

（1.中南大學 物理科學與技術學院，長沙 410083；2.中南大學 粉末冶金研究院，長沙 410083）

Veselago［1］提出了負折射率的假設。但由于自然界不存在天然的負折射率介質，這方面的研究也就沒有得到足夠的重視。Pendry等［2-3］利用兩種不同金屬構成的結構，從理論上實現了GHz頻段上負的等效介電常數和負的等效磁導率。實驗上，2000年，Smith等［4］同時實現了負的等效介電常數和負的等效磁導率，即得到負的折射率介質。Shelby等［5］在實驗上觀察到了負折射現象。Pendry［13］關于負折射介質平板可以突破衍射極限、實現完美成像的建議，更是激起了科學工作者的空前興趣。負折射現象研究也從光子晶體［6-7］擴展到了聲子晶體領域［8-11，14-15］。傳統的光學透鏡及其共軸球面系統成像可以完全地基于單球面正常折射加以解釋。聲子晶體負折射在引入負折射率后可用反Snell定律描述，但這種描述在成像時，特別是多平板成像過程中，面對實物實像、虛物虛像的復雜情況，是否仍然適用，有必要進行細致的分析。作為聲子晶體類似物的光子晶體，也無這方面的詳細報道。而且，平板透鏡區別于曲面透鏡，其獨有的成像特性如何也不清楚。針對這些問題，本文以二維聲子晶體平板為模型，對聲子晶體平板的單板成像和多板成像進行分析，以期更好地認識平板透鏡的成像規律，并加深對聲子晶體多重散射和負折射之間的貫通理解。

1 基本模型

本文所用的模型為鋼圓柱以三角形排列植入空氣中組成的二維二組元聲子晶體，材料參數為：空氣，ρ空氣=1.29 ×10-3（kg·m-3），cl空氣=0.34 ×103（m·s-1），ct空氣=0（m·s-1）；鋼柱，ρ鋼=7.67 ×103（kg·m-3），cl鋼=6.01 ×103（m·s-1），ct鋼=3.23 ×103（m·s-1），其中ρ，cl，ct分別表示材料的質量密度，縱波波速和橫波波速。鋼柱的半徑r=0.36（以晶格常數a為長度單位，下同），對應的單胞填充率為f=0.47。用多重散射方法計算模型能帶結構及等頻線，結果如圖1所示。圖1（a）中，從Γ點出發的直線表示空氣的色散線。從圖1（a）中可以看出，在頻率0.62～0.95（歸一化頻率，下同）之間，Γ點的頻率比其它點的頻率都要高，說明該頻段就是能發生負折射現象的頻率區間［16］。圖1（b）是等頻線圖，當頻率達到0.62時，等頻線凹向Γ點，與帶結構圖中的提示一致。

圖1 Fig.1（a）Band structure two-dimensional two-component triangular arrangement steel/air phononic erystal（b）Equivalent frequency drawing

圖1（b）顯示，對于本文討論的模型，在頻段0.65～0.95之間，等頻線的形狀近似為圓形。這說明，在該頻段內可用等效負折射率的概念來描述該聲子晶體中的負折射行為，并可用neff=-k c/ω計算其等效負折射率［12］。本文所用聲源的歸一化頻率為0.70，對應的等效負折射率為-0.54（下同）。

2 聲子晶體平板單板成像

聲子晶體平板負折射成像過程可用示意圖2表示。圖2中，d為聲子晶體平板的厚度，點聲源S到平板左表面距離為物距u，外部像到平板右表面的距離為像距v。點聲源經平板兩個表面折射后的像點分別成內部像點S0和外部像點S1。其中θi，θr分別代表入射角和折射角，平板的等效負折射率用neff表示。

根據反Snell定律及圖中的幾何關系可得，

當入射角θi較小時，利用近軸近似，表達式（1）、式（2）可簡化為：

圖2 負折射率聲子晶體平板成像過程可用示意圖Fig.2 Negative refractive index phononic crystal tablet imaging process available schematic diagram

從式（3）和式（4）可以看出：在近軸近似下，聲子晶體平板內部像點S0的位置與聲波的入射角θi、聲子晶體平板的等效負折射率neff及聲源離平板的距離u（即物距）有關，而與平板的厚度無關；而平板外部的像點S1，聲波的入射角θi、聲子晶體平板的等效負折射率neff及聲子晶體平板的厚度有關，而與物距u無關。

圖3、圖4為聲子晶體平板單板多重散射模擬的負折射成像圖，圖中白直線標記了平板的輪廓和像的中心位置。其中，圖3（a）、（b）、（c）的物距保持不變，都為10.6。對應的平板厚度分別為11層、9層和5層。圖3表明，這些不同厚度聲子晶體平板內部的像點位置基本不變，符合式（3）的描述；平板外部的像點隨著平板厚度的減少，離點聲源的距離隨之減少，符合式（4）描述。這說明聲子晶體平板成像的‘宏觀’過程可以用負的等效折射率和反Snell定律加以描述。需要特別指出的是，圖3（c）中的平板的厚度幾乎減少到了在一定物距下平板內部成像所需的最小厚度。圖3中（a）、（b）、（c）對應的平板厚度分別為11層、9層和5層。

圖3 物距相同（u=10.6），平板厚度不同的負折射成像。Fig.3 Negative refractive imaging with the same object distance（u=10.6）

圖4 相同平板厚度（9層），不同物距下的負折射成像比較Fig.4 Negative refractive imaging with the same thickness

圖4（a）、（b）、（c）中，平板厚度不變（都為9層板），對應的物距分別為 10.6，6.6 和 2.6。這表明，隨著物距的減小，聲子晶體平板內部的匯聚像點離平板入射面的距離隨之減小，而平板外部的像點位置離平板出射面的距離則隨之增大，但整個物像的距離基本保持不變，符合式（4）描述，即厚度一定時，物象之間的平板位置可以任意放置（但物距要在一定范圍內，以保證平板內部有像點）。這一特性，可用平板折射只會平移出射波的位置，而不會改變聲波的出射方向的性質來解釋。進一步地，可以預見，一個厚平板的折射效果，可以用若干個薄平板的累積折射來等效，只要這些薄平板的厚度之和等于厚平板的厚度即可。圖4中的（a）、（b）、（c）對應的物距分別為 10.6、6.6 和2.6。。

圖3、圖4說明，聲子晶體單平板負折射成像可以用反Snell定律加以定量描述，可借用幾何光學透鏡成像的方法來分析。幾何光學中，共軸多球面系統里實物實像、虛物虛像的復雜成像過程，是否也可以推廣到聲子晶體組合平板成像?為此，本文繼續探討組合平板成像的情況。

3 組合平板成像

以聲子晶體雙平板組成的透鏡組為模型，討論多平板聲學透鏡的成像情況。平板的結構和材料同前，聲子晶體雙板分別由7層板（以下稱A板）和8層板（以下稱B板）的鋼/空氣介質柱組成。模擬點聲源經A、B雙板后的成像情況。整個系統的物距為點聲源（物點）到A板的距離，像距為系統右邊像點到B板的距離。成像過程通過多重散射模擬，結果如圖5中的左圖所示。

圖5（a）中，由于系統的物距適當，物點經A板后，在A、B兩板之間成一實像；又因為A、B板的間距適當，A板所成的實像點成為B板的物點，經B板再折射后，得到系統最后的實像。整個成像過程可以用圖5（b1）描述。其最后所成像的位置，也可多次利用式（3）、式（4），通過A、B板依次成像得到，類似于幾何光學中多球面共軸系統的成像過程。圖5（a1）的成像特點是：A、B板內部都有像點，整個系統實物成實像。

圖5（a2）中，物距增大，A、B兩平板的間距減小，這時，物點聲波在入射A板左表面后，未來得及在A板內部匯聚，就從A板右表面折射出來了，相當于A板左表面實現了實物成實像，而右表面實現了虛物成虛像的過程；其后，聲波很快以發散狀進入B板，A板右表面的虛像成為B板左表面的實物，在B板中折射波會聚成B板內部的像點，再后，經B板右表面折射形成最后的實像點，即B板左、右表面都實現了實物成實像的過程。整個成像過程也可以用圖5（b2）描述。同樣地，也可多次利用式（3）、式（4），通過A、B板依次成像得到。圖5（a2）的成像特點是：因系統物距過大，A板內部沒有像點，但B板內部有像點，整個系統實物成實像。

圖5 聲子晶體雙平板成像Fig.5 Phononic crystal twin slabs imaging

圖5（a3）的成像存在類似的依次成像的組合成像規律。圖5（a3）中，物距合適，A板內部有實像點，但A、B板的間距很短，這使得B板太靠近A板，在A板的出射波成實像之前，聲波就碰到了B板。負折射平板界面總是使折射波的發散/會聚狀與入射波的會聚/發散狀態相對應，因而提供了成實像的可能。這一點非常不同于正常折射的光學平板界面。正常折射的光學平板界面，折射波只是繼承入射波的聚散特征，而不會改變聚散特征。圖5（a3）中，當聲波經A板后，以會聚狀進入B板時，在B內聲波就呈發散狀，B板內部沒有像點，但經B板右表面出射后，又能會聚成實像。整個系統也實現了實物成實像的過程。圖5（a3）成像特點是：A板內部有像點，B板內部沒有像點，整個系統還是實物成像。

圖5（a4）中，A板由于物距過大，聲波在板內會聚之前就遭遇右表面折射出射，A板整體呈實物成虛像的過程。A板的虛像成為B板的實物，但A、B兩平板間的距離過長，B板成像時的物距仍然過大，B板成像類似于A板，也呈實物成虛像的過程。因此，圖5（a4）的成像特點是：因系統物距過大，A板、B板兩板單獨成像時的物距都過大，都是實物成虛像，兩平板內部都沒有像點存在，雖然各個折射面都有明顯的負折射行為發生，但整個系統也沒有最后形成實像。

根據物像式（3）、式（4），按照成像的順序，對圖5中的各次成像的物距、像距進行計算，得到系統最后的物距、像距的理論計算值，并與多重散射模擬成像圖中直接讀出的物像數據進行比較，結果見表1。表1表明：在引入等效折射率后，利用反Snell定律的近似理論計算值和多重散射成像圖中的直讀值基本一致。數據的些許差異與近軸近似和讀數誤差有關。

表1 理論計算值與成像直讀值比較Tab.1 Theoretical calculation and imaging direct-read value comparison

對圖5和表1的分析說明，聲子晶體平板多板系統成像，符合依次成像的規律，可借用幾何光學多球面共軸系統中實（虛）物、實（虛）像的類似的復雜過程來進行分析。每次折射從理論上都可以用反Snell定律進行定量的描述。同時，由于平板透鏡系統的折射面是平面，入射波經平板折射后，無論是正常折射還是負折射，出射波相對于入射波只是平移了位置，不改變方向。因此，圖5（a1）、（a2）、（a3）中，A、B 板相同，盡管A、B板在物象之間擺放的位置不一樣，但只要能成實像，總的物像距離保持不變（見表1）。這一結論在圖6中得到進一步證實。

圖6顯示了15層厚的單板與等厚度的多個薄板組成的系統的成像情況。其中，圖6（a）為三個5層平板（即每板由5層介質柱形成的平板）組合而成的透鏡系統的成像情況；圖6（b）為7層板和8層板兩個平板組合的成像情況；圖6（c）為單個15層板的成像情況。點聲源經過這些平板數不同但總厚度相同的系統后，都能成像，而且物像間距相同。平板透鏡的這一性質在調節物距、像距和擺放平板透鏡方面提供了更多的靈活性。在平板擺放受空間限制時，這一特點就顯出優勢來。

圖6 等厚度的平板組合成像的比較Fig.6 Combination tablet imaging comparison with the same thickness

4 結論

本文以二維鋼圓柱/空氣三角排列聲子晶體為模型，分析了聲子晶體平板透鏡的成像特性。結果顯示，在特定頻率范圍內，聲子晶體平板可以用作獨立的聲平板透鏡，利用負折射效應成像；平板透鏡在引入等效負折射率后，其成像服從反Snell定律，可以解析表達；多平板組合系統成像服從依次成像規律，可借用幾何光學中的多球面共軸系統成像的方法、引入實（虛）物實（虛）像的概念來分析；無論正常折射還是負折射，雖然在平板內部聲波都是折射的，但整體上看，入射平板的聲波和出射平板的聲波，方向相同，只是出射波的位置相對入射平板的位置有一個平移，且平移的距離與平板的厚度有關；正常折射因入射線和折射線分列法線兩側而不能成像，負折射因入射線和折射線列法線同側而能成像；在總厚度不變的情況下，單平板透鏡和多平板透鏡的最終成像效果相同，這一性質雖然給多平板透鏡的擺放提供了一些方便，但多個平板亦須有適當的位置關系，才可取得等厚度單板成像相同的效果。多重散射看似無規的過程，在聲子晶體周期結構的調制下，表現出了足夠的規律性來。聲子晶體負折射，實際上是特定的聲子晶體平板，對聲波進行多重散射的特殊結果。在引入等效負折射率后，聲子晶體平板成像過程的描述，也變得簡單和容易掌握。平板成像的其它性質及影響因素有待進一步的研究。

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