橡膠支座與柱串聯體系的動力特性分析

杜永峰，林治丹，李 慧

（1.蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050）

隔震建筑顯著的隔震減震效果已在地震中得到了充分驗證，使隔震結構在各國得到廣泛應用［1］。目前，隔震技術的主要應用為基礎隔震，即隔震層設在基礎頂面。串聯隔震體系是在基礎隔震體系的基礎上發展而來的復雜結構體系，隔震層設在地下室懸臂柱頂部，如圖1、圖2所示，其振動特性同時受到隔震層以上的上部結構及下部結構的影響。Gent［2］最早基于Harings理論研究了疊層橡膠支座的力學性能。Ryan等［3-4］在雙自由度力學模型的基礎上提出了考慮軸向荷載的疊層橡膠支座非線性模型，分析了軸向荷載對于水平剛度的影響。Kelly［5-6］基于梁柱理論，分析了疊層橡膠支座的豎向剛度、水平剛度和拉伸屈曲。周錫元、韓淼等［7-8］在 Gent 和Kelly研究基礎上建立了柱串聯隔震系統的分析模型 ，推導出柱串聯隔震系統的水平剛度計算公式及臨界荷載求解公式。馬長飛等［9］針對柱頂隔震體系，提出了考慮PΔ效應動力響應的免迭代計算方法，分析了P-Δ效應對柱頂隔震結構的影響。然而，有關串聯隔震體系的動力學性能的研究報道較為少見。考慮轉動慣量、剪切變形以及軸向力對串聯隔震體系固有頻率的影響的研究更是少有。對于橡膠隔震支座與柱串聯的隔震體系而言，隔震體系的轉動慣量、剪切變形以及豎向軸力等將會改變體系的固有頻率。

圖1 串聯隔震結構Fig.1 Serially isolated structure

本研究是在前人分析模型的基礎上，推導出串聯隔震體系自由振動邊值問題的控制方程；其次，導出了頻率方程，并采用微分求積單元法［10-12］對方程及邊界條件進行離散；最后，數值求解頻率方程，得到了相應的固有頻率參數，并利用數值結果探討了軸向力作用下，串聯隔震體系動力特性以及支座等效彎曲剛度等對固有頻率的影響。這些結果為深入研究串聯隔震體系的動力行為提供了基礎。

圖2 串聯隔震體系分析模型Fig.2 Deformation pattern for serially connected isolation

1 串聯隔震體系的分析模型

考慮圖2所示串聯隔震體系總高度為H，上部為疊層橡膠隔震支座，將鋼板和橡膠片組成的疊層結構簡化為等價的連續均勻柱，同時考慮彎曲變形和剪切變形的影響［13-15］，其 橫 截面為Ar、直徑為d、等效密度為ρr，修正彎曲彈性模量為Er、剪切模量Gr、橫截面慣性矩為Ir。下部為鋼筋混凝土柱，且在高度為h處剛性連接隔震支座，其橫截面為Ac、等效密度為ρc，彈性模量為Ec、剪切模量Gc、橫截面慣性矩為Ic，另一端y=0與基礎固結。

圖3 串聯隔震體系微元段的受力圖Fig.3 Differential element

考慮轉動慣量和剪切變形對體系的影響，串聯隔震體系變形可由軸線撓度w（y，t）和橫截面的轉角θ（y，t）兩個廣義位移來表示。微元段的變形示于圖3中，其中P為軸力，橫截面彎矩和剪力分別為M和Q，θ是彎矩引起的截面轉角，γ是剪力引起的剪切角，?w/?y為變形后軸線的切線與y軸的夾角，三者之間的關系：θ=?w/?y+γ。

2 控制方程和邊界條件

考慮彎曲變形時軸力P的二階效應以及微元段的平動和轉動慣性效應，可得串聯隔震體系的運動方程為：

本構方程：

式中：κ為剪切形狀因子，與橫截面形狀和泊松比μ有關。

將式（2）代入式（1）中，可得到考慮軸力作用的串聯隔震體系動力運動方程：

引入有限元的概念，把串聯隔震體系分為兩個單元，變量右上標的表示第e個單元。其中，表示下部鋼筋混凝土柱單元表示上部疊層橡膠隔震支座單元。則，記w1（y，t）和θ1（y，t）分別為下部鋼筋混凝土柱的橫向位移和彎曲引起的橫截面轉角，而和θ2（y，t）分別為上部疊層橡膠支座的橫向位移和彎曲引起的橫截面轉角。考慮軸向力對串聯隔震體系橫向振動的影響，則串聯隔震體系的運動控制方程為：

而兩端的邊界條件為：

鋼筋混凝土柱與隔震支座存在內部邊界條件（協調條件），包括位移協調條件和內力平衡條件：

3 特征方程及其微分求積格式

3.1 特征方程

3.2 無量綱化

3.3 微分求積格式

微分求積法（Different Quadrature Method）本質上是把函數偏導數在某點的值近似用全域內節點函數值的加權和來表示，并在全域內運用高階Lagrange多項式逼近域內某一待求連續函數。對于本文研究的串聯隔震體系，分別在疊層橡膠支座和懸臂柱兩個單元分別運用微分求積法，即微分求積單元法，在y方向各取n個節點，根據微分求積原理［16-17］，將式（10）在［0，1］區間內進行離散，其微分求積形式為：

邊界條件的微分求積形式為：

式中：Aij，Bij分別表示加權系數，分別由下式確定：

當r=2，3，...，n-1 時，有：

對式（12）采用非均勻的Chebyshev-Gauss-Lobatto節點布置，節點分布形式為：

采用替換法處理邊界條件，聯立式（12）和式（13）可以得到4n個方程，通過變形可以寫成矩陣形式：

式中：［Kee］，［Kei］，［Kie］，［Kii］分別是階數為（8 ×8），（8×（4n-8）），（（4n-8）×8），（（4n-8）×（4n-8））的矩陣；{Xe}，{Xi}分別為8維和（4n-8）維列向量，且：

式（17）可以變形得到：

式（18）即為體系固有頻率的特征方程。

4 數值分析與討論

考查實際工程中由混凝土強度等級為C30、彈性模量E=3.0e10 Pa、剪切形狀因子κ=0.845、截面尺寸為1 050 mm×1 050 mm的地下室懸臂柱和橡膠隔震支座組成的總高為3 m的串聯隔震體系。隔震支座剪切形狀因子κ=0.899，其它參數見表1。

表1 橡膠隔震支座參數Tab.1 Parameters of rubber bearings

數值計算中，取每段的節點數為19，應用微分求積單元法求得串聯隔震體系在豎向荷載作用時的前五階固有頻率，列于表2中。

表2 10 MPa豎向荷載作用下前五階無量綱頻率參數Tab.2 Frequency under 10 MPa vertical load

圖4給出了GZP500支座的第一階和第五階無量綱頻率隨著無量綱豎向荷載p的變化曲線。從圖中可以看出，隨著荷載的增加，串聯隔震體系的第一階、第五階固有頻率逐漸降低，當豎向荷載接近體系的臨界荷載時，第一階固有頻率趨于零，串聯隔震體系發散失穩。而第五階頻率隨著荷載p的增加而緩慢減小。

圖4 GZP500支座第一階頻率和第五階頻率Fig.4 1stand 5thfrequency-vertical load curve

圖5給出了各支座串聯隔震體系自由振動基頻隨荷載p的變化曲線。從圖5中可以看出，串聯隔震體系的基頻隨著荷載p的增大而單調減少，當豎向荷載接近體系的臨界荷載時，第一頻率趨于零，此時GZP600、700、800支座的無量綱臨界荷載分別為 0.056 9、0.068 4、0.077 9。在頻率平穩下降段，第一頻率隨著隔震支座型號的增大而降低。圖中還反映出隨著隔震支座型號的增大，各臨界荷載隨之增大。同時，在各基頻顯著下降段處，有明顯的交叉現象，各串聯隔震體系基頻之間的大小關系出現紊亂，而表2僅是頻率平穩下降段的一個局部表現，因此圖5結果與表2的結果是相符的。

進一步分析不同支座對于串聯隔震體系第一階頻率的影響。由文獻［1］可知，影響疊層橡膠隔震支座的參數較多，文中僅以疊層橡膠支座等效彎曲剛度EI為宏觀參數來分析不同支座型號對于串聯隔震體系基頻的影響。從圖6中可以看出，除p=28 MPa外，在某一定值豎向荷載作用下，串聯隔震體系的基頻隨著支座等效剛度的增加而減少。當豎向荷載為p=28 MPa時曲線出現突變，說明在該荷載作用下GZP500、600支座已經進入基頻下降段，而GZP800支座仍處于平穩下降段，因此GZP500支座的串聯隔震體系的基頻在此情況下出現突變，而GZP800支座的串聯隔震體系變化較小，這與圖5的結果相符。

將支座截面慣性矩從等效彎曲剛度中單獨提取出來。圖7給出了不同支座慣性矩對串聯隔震體系頻率的影響，其變化趨勢與等效剛度類似。

圖5 串聯隔震體系頻率與荷載變化曲線Fig.5 Frequency of serially isolated system-vertical load curve

圖6 串聯隔震體系頻率與支座等效彎曲剛度變化曲線Fig.6 Frequency of serially isolated system-equivalent stiffness curve

圖7 串聯隔震體系頻率與慣性矩變化曲線Fig.7 Frequency of serially isolated system-moment of inertia curve

5 結論

本文在前人的研究成果之上確立了串聯隔震體系動力分析模型，采用微元段的方法建立了該體系的運動方程，導出了串聯隔震體系的控制方程和邊界條件，并應用微分求積單元法這一較成熟的數學方法進行數值求解。研究了在豎向荷載作用下串聯隔震體系的振動問題。數值結果表明：隨著豎向荷載的增加，串聯隔震體系的固有頻率逐漸降低；當豎向荷載接近體系的臨界荷載時，固有頻率趨于零；在頻率平穩下降段，某一豎向荷載作用下，串聯隔震體系的固有頻率隨著疊層橡膠支座型號的增大而降低，支座等效彎曲剛度對于體系的固有頻率也具有同樣的影響。

［1］周福霖.工程結構減震控制［M］.北京：地震出版社，1997.

ZHOU Fu-lin.Seismic control of engineering structure［M］.Beijing：Seismological Press，1997.

［2］Gent A N.Elastic stability of rubber compression springs［J］.Journal of Engineering Mechanics，1964，6（4）：318-326.

［3］Koh C G，Kelly J M.A simple mechanical model for electrometric bearings used in base isolation［J］.Journal of Engineering Mechanics，1988，30（12）：933-943.

［4］Ryan K L，Kelly J M，Chopra A K.Nonlinear model for lead-rubber bearings including axial-load effects［J］.Journal of Engineering Mechanics，2005，131（12）：1270-1278.

［5］Kelly J M.Tension buckling in multilayerelastomeric bearings［J］. Journal of Engineering Mechanics，2003，129（12）：1363-1368.

［6］Kelly J M.Earthquake resistant design with rubber［M］.London：Spriger，2nd Ed.，1997.

［7］周錫元，韓 淼，曾德民，等.橡膠支座與R/C柱串聯隔震系統水平剛度系數［J］.振動工程學報，1999，12（2）：157-165.

ZHOU Xi-yuan，HAN Miao，ZENG De-min，et al.Horizontal rigidity cofficient of the serial system of rubber bearing with column［J］.Journal of Bibration Engineering，1999，12（2）：157-165.

［8］周錫元，韓 淼，曾德民，等.組合橡膠支座及橡膠支座與住串聯系統的水平剛度計算方法［J］.地震工程與工程振動，1999，19（4）：67-75.

ZHOU Xi-yuan， HAN Miao， ZENG De-min， etal.Calculatin method of lateral stiffness of combined rubber bearing and serial system of bearing with columns［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1999，19（4）：67-75.

［9］馬長飛，譚 平，張亞輝，等.考慮P-△效應的柱頂隔震結構的動力響應分析［J］.土木工程學報，2010，43：230-234.

MA Chang-fei，TAN Ping，ZHANG Ya-hui，et al.Dynamic responses Anslysis of structures with isolators on the top of the columns considering P - △ effects［J］.China Civil Engineering Journal，2010，43：230-234.

［10］ Wang X，Bert C W.A new approach in applying differential quadrature to static and free vibration analyses of beams and plates［J］.J.Sound and Vibration，1993，162（3）：566-572.

［11］Wang X W，Liu F，Wang X F，Gan L F.New approaches in application of differential quadra-ture method to fourth-order differential equations［J］.Commun.Numer.Meth.Engng，2005，21：61-71.

［12］ Liu G R，Wu T Y.Vibration analysis of beams using the generalized differential quadrature rule and domain decomposition［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，246（3）：461-481.

［13］周錫元，韓 淼，曾徳民，等.疊層鋼板橡膠墊的穩定性分析與強度驗算［J］.建筑科學，1997（6）：13-19.

ZHOU Xi-yuan，HAN Miao，ZENG De-min，et al.Stability analysis and strength checing of laminated rubber bearing［J］.Building Science，1997（6）：13-19.

［14］唐家祥，劉再華.建筑結構基礎隔震［M］.武漢：華中理工大學出版社，1993.

［15］ Imbimbo M，Kelly J M.Stability of isolators at large horizontal displacements［J］.Earthquake Spectra，1997，13（3）：415-430.

［16］劉金堂，楊曉東，聞邦椿.基于微分求積法的軸向運動板橫向振動分析［J］.振動與沖擊，2009，28（3）：178-181.

LIU Ji-tang，YANG Xiao-dong，WEN Bang-chun.Transverse vibration of an axially moving plate based on differential quadrature method［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28（3）：178-181.

［17］李晶晶，胡育佳，程昌鈞，等.粘彈性Timoshenko梁非線性動力學行為的微分求積分析［J］.振動與沖擊，2010，29（4）：143-145.

LIJing-jing， HU Yu-jia， CHENG Chang-jun， etal.DifferentalQuadrature method for nonlinear dynamical Behavior of a viscoelastic timoshenko beam ［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（4）：143-145.