新型滾珠式多向動力吸振器的理論研究

張小龍，東亞斌，張曉鐘，李雨田

（西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055）

為了降低機械和結(jié)構(gòu)的振動響應，特別是受到各種條件制約難以回避共振時，現(xiàn)實的方法是安裝各種動力吸振器。在主振動系上附加吸振器后，通過適當選擇吸振器的動力參數(shù)，在主振系共振頻率點附近就可以達到減小其強迫振動響應的目的。由于被動式動力吸振器的結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)定性和可靠性高，不需要外部動力源，能有效地抑制頻率變化較小的機械或結(jié)構(gòu)的振動，因此很早就在許多領域獲得了應用，同時對各種被動式動力吸振器的研究與開發(fā)也一直受到人們的關注［1－2］。

為了達到動力吸振的目的，佐藤久雄等［3］利用兩球同向旋轉(zhuǎn)時在接觸點處逆向運動產(chǎn)生阻尼力，設計了一種兩球轉(zhuǎn)動式吸振器（two-ball rolling type swing damping equipment）。松久寛等［4］開發(fā)出了解決索道纜車振動問題的圓弧軌道型吸振器?；拇ɡ蔚龋?］利用水平半圓弧彈簧和電磁阻尼，開發(fā)了一種水平二維免振臺，用于抑制因風、地震和地基振動引起的住宅振動。張小龍等［6－7］通過理論分析與數(shù)值計算研究了滾珠控制轉(zhuǎn)子不平衡振動的理論與技術。

為了降低吸振器的成本，簡化結(jié)構(gòu)，本文設計了一種由簡單幾何體球面和球體組成的滾動質(zhì)量型吸振器，稱為滾珠式多向動力吸振器，可以用于塔柱類設施的多個方向振動控制，具有一定的通用性。本文在對其進行動力學建模、分析與計算的基礎上，運用定點理論優(yōu)化設計了吸振器參數(shù)，還討論了參數(shù)對吸振效果的影響。

1 吸振器及其理論分析

1.1 吸振器

如圖1所示，在振動主體（質(zhì)量為M）的凹球面（半徑為R）內(nèi)有一吸振球（質(zhì)量為m、半徑為r，繞其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為I），振動主體用剛度為k的彈簧和阻尼系數(shù)為c的阻尼器與基礎相聯(lián)（圖中阻尼器略）。由于圖1中吸振球可沿凹球面向任何方向運動，所以系統(tǒng)在水平面內(nèi)沿任何方向振動時，吸振球均有吸振作用。

圖1 滾珠式多向動力吸振器原理圖Fig.1 Mechanism of dynamic multi-direction vibration absorber with a ball

1.2 運動方程式及吸振性能分析

為了簡化分析過程，這里只分析系統(tǒng)在一個方向的振動及其吸振作用，模型如圖2所示，吸振球在半徑為R的圓弧面內(nèi)運動，系統(tǒng)平衡時，吸振球處于圓弧最底部，彈簧k無伸長，以此位置為坐標原點，建立圖示的固定坐標系O-XY，取振動主體的水平位移z及吸振球心繞凹球面中心O'的角位移θ為廣義坐標。

圖2 系統(tǒng)在單方向的振動模型Fig.2 Mechanical model of the system in one direction

一般情況時，設吸振球中心在坐標系O－XY中的坐標為（x，y），則：

假設吸振球沿圓弧面軌道作無滑動的純滾動，并設吸振球從圓弧面最底部的平衡位置開始滾動到圖2所示位置時滾動角度為φ，如圖3示，則有下述關系：

系統(tǒng)的動能T、勢能U和耗散函數(shù)V分別為：

其中I=2mr2/5，cb為吸振球運動阻尼。根據(jù)拉格朗日方程，當振動主體上作用外激勵Fcosωt時，系統(tǒng)運動微分方程為：

圖3 吸振球的純滾動Fig.3 The pure rolling of the ball damper

考慮到吸振球在θ=0附近作微小振動，設θ為微小量，即 θ=O（ε），取 sinθ≈θ，cosθ≈1，略去O（ε3）及其以上量級小量，則上式對應的無量綱方程式為：

其中：

上式中δst為大小是外激勵力幅值F的靜力作用時主振系彈簧的靜變形，ωn是主振系的固有頻率，p是吸振球的固有頻率，ζ是主體的阻尼比，ξ是吸振球的阻尼比，λ是激勵頻率ω與主振系的固有頻率ωn之比，η是主振系的固有頻率與吸振球的固有頻率比，μ是吸振球、振動主體質(zhì)量和（M+m）與主體質(zhì)量M之比。

設方程（5）的解為：

則振動主體和吸振球的振幅為：

式中無量綱參數(shù)A，B，C為：

振動主體振幅Z*隨參數(shù)λ和ξ的變化規(guī)律如圖4所示。當阻尼比ξ較小時，Z*出現(xiàn)兩個峰值，且Z*的峰值隨著ξ的增大而減小。若ξ再進一步增大，振動主體M和吸振球m之間的運動相對困難，Z*僅出現(xiàn)一個峰值，且隨ξ的增大而增大。所以當ξ無窮大時，M和m之間不出現(xiàn)相對運動，成為質(zhì)量為（M+m）單自由度系統(tǒng)。圖4中出現(xiàn)不隨ξ變化的兩個定點P和Q。在ζ=0的條件下，分別令式（8）中的ξ=O和ξ→∞的振幅Z*相等，得出求解定點頻率比λP和λQ值的方程式為：

將λP、λQ值代入下式，即可得兩定點的振幅為：

圖4 振動主體的振幅變化規(guī)律Fig.4 The variation laws of amplitude curve of main vibration system

吸振球的實際振幅Θ（=τΘ*）的變化規(guī)律如圖5所示，可以看出吸振球確實在θ=0附近作微小振動。

圖5 吸振球的實際振幅變化規(guī)律Fig.5 The variation laws of actual amplitude curve of ball damper

2 動力吸振器參數(shù)的優(yōu)化設計

在主振系參數(shù)一定的條件下，吸振球的質(zhì)量m（或μ）對主振系振幅的影響見圖6所示，μ越大制振效果越好，但實際μ的選取要根據(jù)主振系的質(zhì)量M，綜合考慮系統(tǒng)總質(zhì)量與主振系的振幅降低程度來確定。

在μ值確定之后，為了能使主振系的振幅在較大頻率范圍內(nèi)盡可能降低，利用定點的性質(zhì)，吸振球的其余參數(shù)η，ξ（或R－r，cb）可以按以下條件進行優(yōu)化設計。

圖6 吸振球質(zhì)量對主振系振幅的影響Fig.6 The effects of the mass of ball damper on the amplitude curves of main vibration system

2.1 最優(yōu)頻率比

為了使兩定點P，Q的振幅盡量降低以調(diào)整參數(shù)η。當η改變時，根據(jù)式（10）和式（11），一個定點的振幅下降，同時另一個定點的振幅上升，如圖7所示。因此，為了能在較大頻率范圍內(nèi)盡可能降低主振系的振幅，使定點P，Q的振幅相等，以調(diào)整η（或p）值。

圖7 兩定點P和Q振幅的變化規(guī)律Fig.7 The variation laws of amplitude curves of fixed points P and Q

令λP，λQ點的振幅相等，由式（11）得：

將式（13）代入式（10），得此時兩個定點的頻率值為：

此時，兩個定點的振幅為：

2.2 最優(yōu)阻尼比ξ

在滿足最佳頻率比條件式（13）的基礎上，再使定點P，Q處的振幅Z*達到極大值，以確定最優(yōu)阻尼比ξ值。即在頻率比由式（14）確定的定點處使?Z*/?λ=0。因式（8）是λ2的函數(shù)，所以該極大值條件可以等價為：

為了簡化上式的計算，將式（8）變形為：

其中：

將式（17）代入式（16），得：

由于定點的振幅與ξ無關，所以式（19）中的N/D可以用式（11）替換，得：

由式（18）計算出各偏導數(shù)后代入式（20），考慮式（10）、式（13）和式（14），得：

其中：

由式（21）和式（22）知ξP≠ξQ，即無論如何調(diào)整ξ都不能使定點P和Q的振幅同時達到極大值，作為近似可選用其平均值作為最優(yōu)阻尼比，即：

圖8 參數(shù)優(yōu)化后主振系的振幅Fig.8 The optimized amplitude curve of main vibration system

經(jīng)過以上最佳參數(shù)調(diào)整后主振系的振幅如圖8所示，吸振球的實際振幅見圖9所示。

3 雙方向吸振問題

圖9 參數(shù)優(yōu)化后吸振球的實際振幅Fig.9 The optimized actual amplitude curve of ball damper

根據(jù)前面的研究結(jié)果，該吸振器能夠在一定的頻率范圍內(nèi)有效地控制單方向的簡諧振動（見圖8）。但當機械或結(jié)構(gòu)承受兩個正交方向的簡諧振動時，根據(jù)二維簡諧振動的合成原理［8］，只有在兩個方向振動是同頻率，且相位差是0或±π時，合成振動是同頻率的直線簡諧振動，這時同樣能夠進行有效地控制。

4 結(jié)論

本文提出了一種結(jié)構(gòu)簡單的滾珠式動力吸振器，通過滾珠在凹球面內(nèi)的運動，可以控制機械或結(jié)構(gòu)的特殊的多方向振動，并通過理論分析、數(shù)值計算和參數(shù)優(yōu)化設計，確認了該吸振器可以大幅度降低強迫振動響應，具有優(yōu)良的振動控制性能。

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