基于微滑移模型的B－G 型葉片干摩擦緣板阻尼器減振特性研究

何尚文，任興民，秦衛陽，鄧旺群

(1.西北工業大學 力學與土木建筑學院工程力學系，西安 710072;2.中國航空動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

由于附加干摩擦阻尼器可以有效降低航空發動機葉片振動，葉片附加緣板阻尼器得到了廣泛應用，其減振特性的研究具有很重要的理論與實際意義。

干摩擦接觸一般為復雜非線性接觸，建立準確模擬干摩擦接觸的摩擦模型對緣板阻尼器振動問題的研究十分關鍵。為了解決正壓力較大時整體滑動模型的局限性，準確描述接觸面上應力的不均勻分布，Iwan［1］提出了彈簧并聯/串聯模型;Menq［2］對接觸面微滑移進行了研究，但計算時沒有考慮系統振動可能在完全粘滯階段穩態的情況;漆文凱等［3］做了重要工作，提出了一種不考慮摩擦面間完全粘滯階段的解析微滑移模型，得到了廣泛應用。本文通過在接觸面間引入彈性剪切層來模擬干摩擦接觸，考慮系統振動時摩擦接觸面間可能經歷完全粘滯、局部滑移、完全滑移三個階段，建立了一種更加貼近工程實際的微滑移模型，用于緣板阻尼器高頻及大正壓力下的振動及減振特性分析。根據建立的摩擦模型，對摩擦力－位移遲滯曲線及不同外力作用下接觸面上的摩擦分布進行了仿真，論證了摩擦面微滑移機理;將工程中的B－G型(葉片－基礎型)緣板干摩擦阻尼器模型模化為質量－彈簧系統，利用一次諧波平衡和等效線性化［4－5］相結合迭代求解，對B－G型阻尼器設計中的關鍵參數進行了研究，揭示了干摩擦減振的本質(阻尼和剛度作用)。

1 微滑移模型及相關仿真

1.1 微滑移模型

假設接觸面間有一個彈性剪切層，摩擦接觸面間將經歷完全粘滯、局部滑移、完全滑移三個階段，如圖1所示。

圖1 接觸面及彈性剪切層Fig.1 Contact area and elastoplastic shear layer

其中τ為接觸面上每單位長度的摩擦力，u為施加外力F后摩擦接觸面上點的位移，k為接觸面上單位長度剛度，τm=μp，μ為動滑動摩擦因數，式(1)的物理意義為:當接觸面上點位移(變形)小于μp/k，這些點將保持粘滯，當等于或大于μp/k，這些點將要滑動或處于滑動狀態。在AB段剪切層任取一微元段分析:

圖2 微元分析Fig.2 Differential analysis

整理式(2)得式(3):

第一個階段:當外力F從0開始增加時，接觸面間只發生彈性變形，這時接觸面間處于完全粘滯階段(外力F和摩擦力f1相等)。由式(1)、式(3)可知:

式(4)需要滿足的邊界條件為:

則B端位移u(1)和外力F為:

第二個階段:當F達到 λEAτmtanh(λ)/kl時，B點開始滑動，產生了滑動區域。F繼續增大，從右到左滑動區逐步增大，此時摩擦接觸面左邊為粘滯區域，長度為(1－Δ)l，每單位長度上的摩擦力為ku;右邊為滑動區域，長度為Δl，每單位長度上的摩擦力為τm，如圖3(此階段外力F和摩擦力f1相等):

圖3 局部滑移Fig.3 Partial slip

此時摩擦接觸面上滿足:

方程(9)滿足的邊界條件為:

由式(9)、式(10)可解得:

第三個階段:F繼續增大，當Δ=1;F=τml時，滑動區域擴展到左端A點，系統達到臨界滑動(臨界位移值u0由式(11)上，令Δ=1可得)，隨后系統開始整體滑移，接觸面上摩擦力將符合τ=τm，這時動滑動摩擦力為 f=μpl。

反復的卸載和重復加載過程:為了建立一個振動周期的摩擦力－位移穩態遲滯曲線，需要研究卸載和重新加載。Masing Rule［6］(曼辛規則)指出材料在卸載和再加載過程中力和位移(變形)符合這樣的關系式:

其中上式為初始加載時力與位移(變形)的函數關系，xz、Fz分別為卸載或加載過程中轉折點的位移(變形)和力。一般研究中，外激勵均為簡諧激勵即對稱荷載，局部滑移的遲滯曲線是關于原點對稱的。在系統達到臨界滑移前任意一點卸載，然后再反復加載卸載，可得穩態時摩擦力f1和B端位移u(1)的遲滯曲線如圖4(包含局部滑移、臨界滑移、整體滑移三種情況)。

另外，當正壓力非常大的情況下系統穩態時幅值會小于τm/k，即系統穩態在完全粘滯階段，這時摩擦力－位移函數為 f=λEAu(1)tanh(λ)/l;(u(1)≤τm/k)，摩擦力在圖中實線范圍內循環，附加阻尼器只體現剛度作用，如圖5。

圖4 摩擦力－B端位移遲滯曲線Fig.4 Steady hysteretic curve of dry friction-displacement

圖5 摩擦力－B端位移線性關系Fig.5 Linear relation of dry friction-displacement

1.2 仿真

給定l=0.02 m，EA=4 000 000 N·m，μ=0.3，k=1×1011N/m2，p=20 000 N/m，μ為動滑動摩擦因數，正壓力為N=pl=400 N。仿真得摩擦力－位移遲滯曲線如圖6、圖7。

圖6 臨界狀態(從臨界位移卸載)遲滯曲線Fig.6 Hysteretic curve of critical state

圖7 局部滑動時遲滯曲線Fig.7 Hysteretic curve of partial slip

圖8 完全粘滯時剪切層內摩擦力的分布狀態Fig.8 Distribution of dry friction within shear layer during viscous stage

圖9 局部滑移時剪切層內摩擦力的分布狀態Fig.9 Distribution of dry friction within shear layer during partial slip

由式(8):外力 F 小于 τmλEAtanh(λ)/kl即37.811 6 N，摩擦界面處于完全粘滯階段;大于τmλEAtanh(λ)/kl小于 μN 時處于局部滑移階段，圖8、圖9分別描述了發生完全粘滯和局部滑移時接觸面上摩擦力的分布情況。

2 B－G型緣板阻尼器減振特性分析

2.1 模型及分析方法

B－G型葉片緣板阻尼器結構及其模化后的質量－彈簧模型如圖10。

圖10 B－G阻尼器結構及其模化的質量－彈簧模型Fig.10 B －G platform damper and its mass-spring model

由圖10可知，系統動力學方程為:

其中:m為質量，y為振動位移，ks為系統剛度，c為系統自帶粘性阻尼系數，f1為系統干摩擦力，值為摩擦力－位移遲滯曲線仿真結果中的離散數據，F0sin(ωt)為外激勵。Berthillier［7］認為，當摩擦界面連續不脫離時，一次諧波平衡法可以得到足夠精確的結果。對于方程(13)，采用一次諧波平衡和等效線性化相結合進行求解，設其一次諧波穩態解為y=Ysin(ωt+β)。Y為穩態振幅值，u0為臨界位移，ke為等效剛度，ce為等效阻尼。將摩擦力看作一個復剛度彈簧，剛度為:ki=ke+iωce。

局部滑動時，遲滯曲線面積即為系統穩態運動時一個周期內阻尼力所作的功W，則有:

由于:

則:

整體滑動:

式(17)中第一個式子的分子為發生整體滑移時一個穩態周期內阻尼力所做的功(平行四邊形與臨界遲滯曲線面積之和)。

接觸面只發生彈性變形，即摩擦力關于位移為線性關系時:

計算思路:先計算不加干摩擦阻尼器時的穩態響應幅值作為迭代初值，計算發生整體滑移的臨界位移值u0和發生局部滑移的位移值τm/k，比較迭代初值和u0的大小，若大于u0，則按整體－局部統一滑動模型來計算系統的等效剛度ke和等效阻尼ce;若介于兩者之間，則按局部滑動來計算;若小于τm/k，則按線性摩擦力來計算。由振動理論公式，下一個迭代步穩態幅由穩態幅值判斷滑動狀態并計算ke和ce，再計算下一個迭代幅值，當相鄰迭代步的穩態幅值之差小于誤差限時認為收斂，得到穩態幅值(迭代計算中每步的穩態幅值即為遲滯仿真中的B端位移u(1))。

2.2 仿真結果及分析

參考工程中的葉片阻尼系統參數，給定m=0.6 kg，ks=7.5×107N/m，F0=5 000 N，c=600 N·s/m。l=0.02 m，EA=4 000 000 N·m，k=1 ×1011N/m2，μ=0.3。先設定正壓力荷載集度p=20 000 N/m，正壓力N=pl=400 N;ω=8 000 rad/s，令 Y/u0為滑動系數。則等效剛度ke和等效阻尼ce隨滑動系數的變化規律如圖11、圖12。值為:

圖11 等效剛度隨滑動系數的變化曲線Fig.11 ke－ Y/u0curve

圖12 等效阻尼隨滑動系數的變化曲線Fig.12 ce－ Y/u0curve

由圖11、圖12知，在正壓力非常大時，Y很小，摩擦界面處于完全粘滯階段，ke最大且為一恒定值，此時ce為0(圖12未畫出此段)，阻尼器只體現剛度作用;Y逐步增大，從開始局部滑動，ke隨Y逐漸減小而ce則從0逐步增加，在整體滑動階段的某個Y值，ce有最大值，Y繼續增大，ce從最大值逐步減小。需要注意的是，本文模型與不考慮完全粘滯階段的微滑移模型相比，更接近實際情況。當正壓力非常大(即Y很小)時，不考慮完全粘滯會出現ke和ce趨近無窮大的現象，而采用本文模型時ke為一個穩定值，此時阻尼器主要體現剛度作用，ce應很小。

研究動滑動摩擦系數μ對系統減振特性的影響。其它參數不變，μ 分別取 0.2、0.25、0.3、0.35、0.4，仿真結果如圖13。

圖13 不同摩擦系數下的幅頻(角頻率)曲線Fig.13 Y － ω curve under different μ

由圖13知，μ對系統共振頻率影響很小;對系統減振特性有明顯的影響，共振區及附近，μ越大，減振效果越好，向右遠離共振區(將圖13角頻率大于16 000部分局部放大)，減振效果不隨μ增大而更好。

假定葉片工作頻率為3 000/π(Hz)，研究工作頻率下穩態幅值隨正壓力的變化規律，仿真結果如圖14。

圖14 不同外激勵下系統的穩態幅值－正壓力曲線Fig.14 Y － N curve with different F0

由圖14知，在工作頻率下外激勵一定時，系統穩態幅值隨正壓力增加而減小，正壓力增大到一定值后，減振效果基本不再改善，即存在一個正壓力范圍，在此范圍內系統工作頻率下穩態幅值減振效果最佳，且外激勵增大達到最佳減振效果需要的正壓力的取值也將增加，反之減小。

其它參數不變，研究外激勵對系統振動特性的影響，仿真結果如圖15。

圖15 不同外激勵下系統的幅頻曲線Fig.15 Y － ω curve with different F0

由圖15知，當外激勵增加時，系統出現了剛度軟化，即外激勵增加導致阻尼器剛度效果減弱從而使系統共振頻率減小，反之增加。

其它參數不變，研究正壓力變化對葉片系統振動及減振特性的影響，仿真結果如圖16。

圖16 不同正壓力下的幅頻曲線Fig.16 Y － ω curve with different normal force

圖16中計算了五種正壓力和正壓力非常大(摩擦力線性)共6種工況下的幅頻響應。隨著正壓力增大，共振峰值先減小后增大，N=25 000 N時最小，說明一定工況下存在一個最佳正壓力使得干摩擦阻尼系統共振峰值最小;同時隨著正壓力增大，系統共振頻率增加，增加到一定值后，由于阻尼器只體現剛度作用且剛度為恒定值，共振峰值頻率不變。

3 結論

(1)考慮摩擦接觸面間完全粘滯階段作用建立的微滑移模型更符合工程實際，改進了微滑移模型。分析結果表明阻尼器對振動的抑制主要體現為剛度和阻尼作用。正壓力較小或外激勵幅值較大時，阻尼和剛度作用均較弱;正壓力較大或外激勵幅值較小時，剛度作用明顯，阻尼作用不一定明顯;在整體滑移階段存在阻尼的最大值。

(2)動滑動摩擦系數對共振峰值頻率基本無影響，對共振區減振特性有明顯影響。

(3)一定頻率下，存在一個正壓力范圍使得系統穩態幅值減振效果最好，超過這個范圍繼續增大正壓力對減振效果無明顯改善;外激勵增加，這個正壓力范圍取值也增加，反之減小。外激勵幅值增加會導致系統剛度軟化，系統共振頻率減小;反之增加。

(4)其它參數一定時，存在一個最佳正壓力使系統共振幅值最小，系統共振頻率隨正壓力增加而增大，到一定值后不變。B－G型緣板阻尼器設計必須綜合考慮葉片共振峰值和工作頻率下穩態幅值的減振效果。

［1］Iwan W D.On a class of models for the yielding behavior of continuous and composite systems［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1967，89:612 －617.

［2］Menq C H ，Griffin J H，Bielak J.The influence of a variable normal load on the forced vibration of a frictional damped system［J］.ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，1986，108:300 －305.

［3］漆文凱，高德平.帶摩擦阻尼裝置系統振動響應分析方法研究［J］.航空動力學報，2006，21(1):167 －173.

［4］聞邦椿，李以農，許培民，等.工程非線性振動［M］.北京:科學出版社，2007.

［5］白鴻柏，張培林，黃協清.非恒定滑動摩擦系數振動系統等效線性化計算方法研究［J］.振動與沖擊，2001，20(1):77－80.

［6］李 亮，趙成剛.飽和土體動力本構模型研究進展［J］.世界地震工程，2004，20(1):138－148.

［7］Berthillier M，Dupont C，Mondal R，et al.Blade forced response analysis with friction dampers［J］.Transaction of the ASME Journal of Vibration and Acoustics， 1998， 120:468－474.