混合磁懸浮球系統吸引子及穩定性研究

馬鳳蓮， 江東， 張翔， 楊嘉祥

(哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江哈爾濱 150080)

混合磁懸浮球系統吸引子及穩定性研究

馬鳳蓮， 江東， 張翔， 楊嘉祥

(哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江哈爾濱 150080)

為了避免磁懸浮球混沌運動，設計了永磁和電磁混合型磁懸浮球模型，推導了磁懸浮球的動力學方程，并建立了磁懸浮球系統的仿真模型。通過改變初始狀態，得到不同初始條件下的磁懸浮球系統吸引子。混合型磁懸浮球系統具有單、雙兩類吸引子，雙吸引子表現出較強的混沌特性，磁懸浮球圍繞平衡點附近的波動較大，磁懸浮球由混沌運動狀態向非混沌運動狀態轉變時，由雙吸引子逐漸向單吸引子過渡，系統演變為具有周期特性的運動狀態，再演變為相軌跡收斂于一個點，磁懸浮球處于較穩定的運動狀態。仿真和實驗結果表明，通過磁懸浮球吸引子的研究可了解混沌產生的初始區間，進而為設計中避開混沌區實現磁懸浮球的穩定運動提供了參考依據。

磁懸浮;初始狀態;動力學方程;混沌運動狀態;吸引子

0 引言

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統有許多應用，如實現振動測量［1］、微風力測量［2］、速度及加速度測量［3－4］和風力發電［5］等。混合磁懸浮球系統在一定的條件下出現混沌現象，了解出現混沌的條件、混沌的特征以及系統如何從混沌狀態到非混沌狀態的過渡，可以更好地指導磁懸浮球系統中位移傳感器的安裝位置、控制器PD參數的設計以及磁懸浮球能夠穩定的初始位置范圍，擴大磁懸浮球運動的動態范圍［6］，進而獲得系統能夠實現穩定的最佳條件，達到最佳控制和測量的目的［7］。在利用磁懸浮球系統實現測量的過程中，混沌運動特性將直接影響測量結果，對于磁懸浮球系統混沌狀態的研究可以進一步實現小波去噪等數據處理［8］。

1 混合磁懸浮球系統構成及建模

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統由電磁鐵、磁懸浮球、位移傳感器、環境紅外光傳感器、數據采集電路、控制電路、驅動電路構成，如圖1所示。

圖1 混合磁懸浮球系統Fig.1 Chart of hybrid magnetic levitation ball system

圖1中，電磁鐵線圈由直徑為20 mm的鐵心和纏繞直徑為1 mm、匝數為1 341的銅導線構成。磁懸浮球由直徑為140 mm的塑料球構成，塑料球上表面內部粘貼直徑為22 mm、厚度為5 mm的永磁鐵，電磁鐵線圈與內部嵌有永磁鐵的磁懸浮球構成混合磁懸浮球系統。永磁和電磁混合使用可以加大磁懸浮球的平衡范圍，減小平衡點處通過電磁鐵線圈的電流，系統接近于零功耗。位移傳感器由紅外發射和接收對管構成。環境紅外光傳感器由紅外接收管構成，用于消除環境紅外光對于測量結果的影響。

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統模型如圖2所示。

圖2 混合磁懸浮球系統模型Fig.2 Model of hybrid magnetic levitation ball system model

圖2(a)為t0時刻混合磁懸浮球系統的工作狀態。y10為電磁鐵的初始位置，y20為磁懸浮球的初始位置，y3為位移傳感器的安裝位置。圖2(b)為t0+Δt時刻混合磁懸浮球系統的工作狀態。用y1=y10+Δy1表示t0+Δt時刻電磁鐵的位移，y2=y20+Δy2表示t0+Δt時刻磁懸浮球相對于電磁鐵的相對位移，光電位移傳感器相對于電磁鐵的距離y3固定不變。

將磁懸浮球放于平衡點附近，當磁懸浮球所受重力大于電磁鐵提供的磁力時，磁懸浮球向下運動，磁懸浮球遮擋光電位移傳感器面積減小，紅外接收管接收更多的來自紅外發射管的紅外光，其電壓信號輸出至控制電路，通過驅動電路使電磁鐵線圈電流加大;反之，當磁懸浮球所受重力小于電磁鐵提供的磁力時，磁懸浮球向上運動，磁懸浮球遮擋光電位移傳感器面積增大，紅外接收管接收較少的來自紅外發射管的紅外光，控制電路通過驅動電路使電磁鐵線圈電流減小，且控制電路內含微分電路，最終使磁懸浮球在平衡點附近懸浮。

磁懸浮球與電磁鐵之間氣隙中的磁場分布均勻時，磁懸浮球所受磁力［9］可表示為

式中:c為系數;i為電磁鐵電流。改變電磁鐵電流i和磁懸浮球相對于電磁鐵的相對位移y2使磁懸浮球達到平衡，實測平衡點處電流i與電磁鐵的位移y2之比為常數，說明式(1)中的系數c為一常數。實測磁懸浮球所受磁力與電流和位移的關系如圖3所示。

圖3(a)為固定磁懸浮球位移y20=0.023 m時磁懸浮球所受磁力與電流的關系;圖3(b)為固定電磁鐵電流i=0.254 A時磁懸浮球所受磁力與磁懸浮球位移的關系。計算得到式(1)中的系數c=0.016。

圖3 磁力與位移和控制電流關系Fig.3 Relationship between magnetic force and displace or controlling current

根據牛頓第二定律得到

式中:m為磁懸浮球質量;y為磁懸浮球的位移，其表達式為

當電磁鐵相對于坐標不動時y1固定不變，式(2)變為

當電磁鐵相對于坐標運動時，y1隨時間變化，當y1振動頻率較高時，y2的頻率特性與y1的頻率特性近似相同，可以實現對外界振動的測量［10］。

2 混合磁懸浮球系統仿真模型設計

為實現磁懸浮球穩定，控制方法采用超前控制，設計比例、微分控制電路，磁懸浮球系統的控制電路如圖4所示。

圖4 磁懸浮球系統控制電路Fig.4 Control circuit of magnetic levitation ball system

圖4中，減法電路將磁懸浮位移傳感器的輸出信號與環境紅外光檢測電路的輸出信號相減，差值送入比例、微分控制電路，微分電路由RC電路構成，通過電壓放大電路和驅動電路實現對電磁鐵電流的控制。

混合磁懸浮球系統仿真模型如圖5所示。圖5上半部分表示磁懸浮球的動力方程，下半部分為控制系統電流與位移變化的控制關系。選用的光電位移傳感器的電壓轉換靈敏度CI=3 kV/m。設u1為磁懸浮球位移傳感器的輸出電壓，u2為環境紅外傳感器的輸出電壓，減法電路輸出為

微分電路傳遞函數為

電壓放大電路放大系數k3=247.67，電流放大驅動電路變換系數k4=1/30 000 s，實測磁力系數k5=0.04。由此實現控制電路輸出電流隨時間的變化量為

式中:k1為比例系數，k1=499.4;k2為微分系數，k2=7.5。

圖5 磁懸浮球系統仿真模型Fig.5 Simulation model of magnetic levitation ball system

3 混合磁懸浮球系統吸引子類型和產生條件

磁懸浮球混沌運動有兩種吸引子，即單吸引子和雙吸引子。零極點過小時混合磁懸浮球系統具有雙吸引子，系統處于混沌運動狀態;加大零極點時系統具有單吸引子，系統的混沌特性減弱。

仿真數據為:y3=0.023 m;y20=0.025 5 m;CI=3 kV/m;k4=1/30 000 s;力系數為0.04。PD參數即零點Z0=－10，極點P0=－100時，磁懸浮球相軌跡如圖6(a)所示;PD參數即零點Z0=－20，極點P0=－200時，磁懸浮球相軌跡如圖6(b)所示。

由圖6可知，零、極點較小時為雙吸引子，零、極點較大時為單吸引子。實測的單、雙吸引子對應的波形如圖7所示。

由圖7可知，雙吸引子時磁懸浮球隨時間變化波形的向上的峰值和向下的峰值均存在，說明其混沌特性較強，此時磁懸浮球的總波動范圍較大;單吸引子時磁懸浮球隨時間變化波形的峰值基本出現在波形的下方，說明其混沌特性在減弱。

圖6 單、雙吸引子對應的相軌跡Fig.6 Phase trajectory corresponding single and double attractor

圖7 單吸引子與雙吸引子對應的磁懸浮球位移Fig.7 Displacement of magnetic levitation ball corresponding single and double attractor

4 混沌狀態向穩定狀態的轉化過程和穩定范圍及最佳平衡條件

只改變控制系統的PD參數，零、極點由小到大增加時，磁懸浮球的混沌特性逐漸減弱。零、極點由小到大變化時磁懸浮球相軌跡如圖8所示。

圖8(a)為雙吸引子情形，磁懸浮球處于混沌運動狀態;圖8(b)為單吸引子情形，磁懸浮球的混沌運動特性在減弱;由圖8(c)可知，磁懸浮球由混沌運動狀態逐步演變成周期型的運動狀態;由圖8(d)可知，磁懸浮球的周期運動狀態被打破，近似橢圓形的相軌跡運動范圍逐步在縮小，并向一個點收縮，磁懸浮球向非混沌的穩定狀態過渡;圖8(e)和圖8(f)的相軌跡已經逐步變成向一個點收斂的情形，磁懸浮球由最初的混沌運動狀態變成非混沌的穩定運動狀態。

決定磁懸浮球穩定的因素很多，包括位移傳感器的安裝位置、光電傳感器靈敏度、電壓增益、環境紅外光、電壓放大倍數、微分電路PD參數、電流放大倍數、電磁鐵電流與力的系數以及磁懸浮球初始位置等。為便于研究影響磁懸浮球穩定的主要因素，以位移傳感器的安裝位置、微分電路PD參數和磁懸浮球初始位置為變化量而其他因素固定不變。圖9為磁懸浮球穩定平衡的條件與位移傳感器的安裝位置、微分電路PD參數和磁懸浮球初始位置的關系。

圖9中，y20為磁懸浮球的初始位置，y3為位移傳感器的安裝位置。圖9中顯示的區域為磁懸浮球穩定平衡的區域。圖10為在不同PD參數下，磁懸浮球穩定平衡的條件與位移傳感器的安裝位置和磁懸浮球初始位置的關系。

圖10中，y20和y3的含義與圖9相同。通過圖10可以方便地比較不同的PD參數、位移傳感器的安裝位置和磁懸浮球初始位置對磁懸浮球穩定平衡的影響。

由圖10可知:1)零點Z0較小時對應的穩定區的位移傳感器的安裝位置y3上限較大，可獲得磁懸浮球較大的動態范圍，應取較小的Z0;2)零點Z0較小時，磁懸浮球平衡的初始位置y2范圍較小，為使磁懸浮球平衡的初始位置的范圍較寬，應取較大的Z0。既要穩定又要有大的動態范圍，混合磁懸浮球系統的最優參數為:Z0=－40;P0=－400;y3=－0.023 m;y20= －0.025 5 m。

圖8 不同PD參數對應的相軌跡Fig.8 Phase trajectory corresponding different PD parameters

圖9 零點Z0、y20和y3對應的三維穩定區域Fig.9 Three-dimensional stability region corresponds to Z0，y20and y3

圖10 不同PD參數對應的穩定區域Fig.10 Stability regions corresponding to different PD parameters

5 外加干擾時磁懸浮球位移

為了驗證混合磁懸浮球系統工作的穩定狀況，外加干擾源使混合磁懸浮球系統處于振動中。采用HEV－20型高能激振器作為干擾源，該激振器是一種電動式變換器，可將電能轉換為機械能，對試件提供激振力。激振器最大允許激振力為20 N，最大振幅為±5 mm，頻率范圍為0～5000 Hz且連續可調。激振器置于磁懸浮球模型之上，激振器振動引起磁懸浮球模型一起振動。在激振頻率范圍0～5000 Hz內磁懸浮球均能穩定工作，其中振動信號的振幅為1 mm，頻率為60 Hz。在系統最佳參數下，實測的磁懸浮球位移信號如圖11所示。

圖11 激振器為60 Hz時磁懸浮球的位移Fig.11 Displacement of magnetic levitation ball when vibration exciter frequency is 60 Hz

由圖11知，所設計的磁懸浮球系統遠離混沌區，避免了混沌運動出現，實測數據表明系統的穩定性良好。

6 結語

混合磁懸浮球系統混沌運動有兩種吸引子，零、極點過小時混合磁懸浮球系統具有雙吸引子，磁懸浮球雙向振動劇烈，系統處于較強的混沌運動狀態;加大零、極點時系統具有單吸引子，磁懸浮球只單向振動劇烈，系統的混沌特性減弱;隨著零、極點逐漸增加，磁懸浮球由混沌運動狀態至穩定狀態經歷了雙吸引子、單吸引子、周期型相軌跡、橢圓形相軌跡，最后相軌跡收縮至一個點。零點Z0較小時對應穩定區的位移傳感器安裝位置y3上限較大，零點Z0較大時，磁懸浮球平衡的初始位置y2范圍較大。為避免磁懸浮球處于混沌運動狀態，使磁懸浮球有較大的動態范圍及能實現穩定的磁懸浮球初始位置較寬，通過仿真獲得零、極點最優設計值。仿真和實驗結果表明，通過對磁懸浮球吸引子的研究可以了解混沌產生的初始區間，避開混沌區以實現磁懸浮球的穩定運動，可作為磁懸浮球系統設計的重要參考。

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(編輯:于雙)

Attractors of hybrid magnetic levitation ball system and stability research

MA Feng-lian， JIANG Dong， ZHANG Xiang， YANG Jia-xiang
(College of Electrical＆ Electronic Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China)

In order to avoid magnetic levitation ball in the chaotic region，the model of permanent magnet and electromagnet hybrid magnetic levitation ball system was designed，the dynamic equation of magnetic levitation ball was deduced，and the magnetic levitation system simulation model was set up.The different attractors were obtained by changing the initial states.The simulation results show that the hybrid magnetic levitation ball system designed has single and double two types of attractors.The double attractors have stronger chaotic performance and the magnetic levitation ball has greater fluctuation around the equilibrium point.The attractor is gradually from double attractors to single attractor in magnetic levitation ball from chaotic station transition to non-chaotic state，the magnetic levitation ball becomes a cyclical nature of the motion state and it gradually evolves to a point of phase trajectories when the system presents a stable state.Simulation and test show that the chaos generated by the initial region can be understood by studying the magnetic levitation ball attractors，which provides a reference design basis to avoid the chaotic region and to achieve magnetic levitation ball stable movement.

magnetic levitation;initial state;dynamic equation;chaos state of motion;attractors

TM 571.6

A

1007－449X(2012)08－0011－06

2010－12－09

國家自然科學基金(50777014);高等學校博士學科點專項科研基金(20040214003)

馬鳳蓮(1981—)，女，博士研究生，講師，研究方向為振動能量存儲;

江 東(1960—)，男，博士，教授，研究方向為磁懸浮檢振理論及電工理論新技術;

張 翔(1988—)，男，碩士研究生，研究方向為非線性控制、魯棒控制、智能控制;

楊嘉祥(1938—)，男，教授，博士生導師，研究方向為高電壓及電工理論新技術。

馬鳳蓮