向量在解析幾何中應用的2個常見誤區

●毛亦飛 (武嶺中學 浙江奉化 315502)

向量在解析幾何中應用的2個常見誤區

●毛亦飛 (武嶺中學 浙江奉化 315502)

解析幾何是中學數學的核心內容之一，在數學高考中占有十分重要的地位．解析幾何的基本思想是利用代數方法研究幾何:曲線用怎樣的代數形式表示，某個代數式描述怎樣的幾何性質，怎樣表述各種位置關系和數量關系等本質問題．平面向量，尤其是運用點的位置向量的坐標表示法，可以直接切入幾何問題的討論，為平面解析幾何提供一種新的表示方法．特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時，向量工具有其獨到之處．但是，在教學中發現，向量在解析幾何中的應用存在如下誤區:

誤區1一遇垂直就用數量積等于0

在解析幾何中經常會遇到有關垂直的問題，此類問題通常可以采用的方法有利用勾股定理、斜率之積等于－1和向量的數量積等于0．勾股定理由于涉及3條邊的長度計算往往要通過兩點的距離公式求得，因此計算較麻煩，應用得較少．應用較多的是斜率之積等于－1和向量的數量積等于0，學生更愿意采用后者．究其原因主要是斜率之積等于－1，經常要討論斜率存在與否和是否為0:一來比較麻煩;二來容易忘記特殊情形的分析，造成解題的不嚴密，而向量數量積等于0不需要討論．的確在很多時候向量數量積等于0解決有關垂直問題很方便，學生在學習中遇到垂直問題應用向量數量積等于0更是屢屢成功，也逐漸形成了思維定勢:遇到垂直便想到利用向量數量積等于0．事實上，并非所有的問題都如此．

例1已知動圓過定點F(0，2)，且與定直線l:y=－2相切．

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程．

(2)若AB是軌跡C的動弦，且AB過點F(0，2)，分別以A，B為切點作軌跡C的切線．設2條切線交點為Q，證明AQ⊥BQ．

該題當時是布置給學生的作業題，全班50人中有43人是正確的，即利用向量的數量積等于0證明垂直，只有1位學生是利用斜率之積等于－1證明垂直，具體解法如下:

(1)略．

(2)證明因為直線AB與 x軸不垂直，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線 AB 的方程為

盡管運用2種解法都可以證明垂直，但運算量不同:利用斜率之積等于－1可以很便捷地運算，而利用數量積等于0則需要較多的運算．學生在解決該問題時，缺少分析，思維定勢:遇到垂直便利量積等于0．產生這種誤區的原因有很多，其中幾個比較典型的是:(1)學生對分類討論存在害怕的心理，可以避免討論總想辦法避免，當然這也是正確的策略;(2)對垂直問題的真正背景很少仔細分析;(3)對導數的幾何意義理解不透徹．再往深層分析，了解到產生這種現象的原因是學生對于新的學習內容(即利用向量方法解決解析幾何問題)未能很好地“消化”，與已有的知識、經驗形成了直接沖突．

向量在解析幾何中應用之所以會產生以上幾個常見誤區，主要原因有:一是學生的學習過于機械與死板;二是教師在教學中過于強調向量方法的優越性，而缺少對方法的具體適用性;三是學生在學習中缺少主動探索解決問題方法的精神和對具體解析幾何圖形的把握能力．要使學生走出誤區，筆者認為可以從以下幾個方面去嘗試:

(1)重視幾何意義

(2)學會總結反思

在解析幾何中有關垂直又與點的坐標有關的問題，選擇向量數量積解決的確方便，但是如果涉及垂直，直線的斜率可由導數求得，即根據導數的幾何意義，函數f(x)在x=x0處的導數即函數f(x)在x=x0處的切線的斜率，也就是涉及的直線是曲線的切線，那么選擇斜率之積等于－1會更方便．教師在課堂教學中要不斷地進行2種方法的對比，使學生對所學新知識即用向量方法解決解析幾何問題和用原有的代數方法解決解析幾何問題有一個比較．教師要創造適當的外部環境來促進學生的自我反省并引起必要的“觀念沖突”，如舉反例就是實現上述目標的一個十分有效的手段．

(3)倡導主動探索

著名數學家波利亞曾提出“學習任何東西的最佳途徑是靠自己去發現”，因為發現使理解最為深刻，學生容易把握事物間的本質特征和內在聯系，也能使學生嘗到成功的喜悅．

［1］ 鄭毓信，梁貫成．認知科學建構主義與數學教育［M］．上海:上海教育出版社，2002．