談?wù)剟?dòng)態(tài)探究型問(wèn)題

☉安徽省長(zhǎng)豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平

談?wù)剟?dòng)態(tài)探究型問(wèn)題

☉安徽省長(zhǎng)豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平

探究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中與圖形相關(guān)的某些量的變化規(guī)律或其中蘊(yùn)含的結(jié)論，這類題目叫動(dòng)態(tài)探究型問(wèn)題.它主要有以下幾種類型：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)直線問(wèn)題、圖形變換問(wèn)題等.對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何探究型問(wèn)題，要注意用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究幾何圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，善于化“動(dòng)”為“靜”，由特殊情形入手，逐步過(guò)渡到一般情形，綜合運(yùn)用各種相關(guān)知識(shí)及各種數(shù)學(xué)思想方法加以解決.

題型一 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例1 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線y＝（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△OAB的面積將會(huì)（ ）.

A.逐漸增大 B.不變

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析：本題中的不變量有兩個(gè)：△OAB中的底OA和反比例函數(shù)y＝中k＝3的值不變，其中的變量是點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，當(dāng)橫坐標(biāo)不斷增大時(shí)，縱坐標(biāo)不斷減小，所以相當(dāng)于△OAB的高不斷減小，在底不變時(shí)，這個(gè)底邊上的高不斷減小，所以面積也就是不斷減小.

答案：C

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中的不變量與變量，抓住反比例函數(shù)中k的值不變這一條件是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2（2012年甘肅蘭州市）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦BC＝2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC＝60°.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t＜3），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí)，t的值為（ ）.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到直角三角形ABC，再根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)，可求出AB的長(zhǎng).△BEF是直角三角形，則有兩種情況：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°.在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數(shù)，即可求得BE的長(zhǎng)；由AE＝AB-BE即可求出AE的長(zhǎng)，也就能得出E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離（有兩種情況），從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)，是一道動(dòng)態(tài)題，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度.

2.雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變（如圖5）.理由如下：

所以當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

題型二 動(dòng)線問(wèn)題

例5（2012年廣東珠海市）如圖6①，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對(duì)角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形ABCD被直線MN掃過(guò)的圖形面積為S1、被直線RQ掃過(guò)的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用.解答問(wèn)題時(shí)，要求對(duì)幾何元素的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)完整、清晰的認(rèn)識(shí)，不管點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)還是形動(dòng)，要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來(lái)分析，不被“動(dòng)”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動(dòng)中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題來(lái)解決，從而找到“動(dòng)”與“靜”的聯(lián)系，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)變量之間互相依存的函數(shù)關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口，也就找到了解決這類問(wèn)題的途徑.

題型三 動(dòng)圖問(wèn)題

例6 （2012年四川南充市）如圖7，在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求證：MA＝MB.

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中，△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）連接OM.證明△AMO S△AMO即可.（2）在Rt△AOB中，運(yùn)用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解.

解：（1）如圖8，連接OM.

點(diǎn)評(píng)：本題以直角三角形為基本圖形，綜合考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力.對(duì)于幾何知識(shí)與二次函數(shù)的綜合，是學(xué)生解題的難點(diǎn)之一.

例7 如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F.

（1）求證：CE=CF.

（2）將圖9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點(diǎn)E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖10所示，試猜：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)等.證線段相等常用的方法：①全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等；②等量代換相等.

例8（2012年貴州省畢節(jié)市）如圖11①，有一張矩形紙片，將它沿對(duì)角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′.

（1）如圖11②，將△ACD沿A′C′邊向上平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C′重合，連接A′D和BC，四邊形A′BCD是______形.

（2）如圖11③，將△ACD的頂點(diǎn)A與A′點(diǎn)重合，然后繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A、B在同一直線上，則旋轉(zhuǎn)角為______度；連接CC′，則四邊形CDBC′是______形.

（3）如圖11④，將AC邊與A′C′邊重合，并使頂點(diǎn)B和D在AC邊的同一側(cè)，設(shè)AB、CD相交于E，連接BD，四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

分析：（1）利用平行四邊形的判定，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可.（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可.（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CB，即可得出答案.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識(shí)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

*本文系2011年安徽省六安市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題（LM11038）“與新課程相適應(yīng)的學(xué)生作業(yè)設(shè)計(jì)研究”的部分研究成果.