意料之外 情理之中
——2012年浙江省數學高考數列題賞析

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(寧波中學 浙江寧波 315100)

意料之外情理之中
——2012年浙江省數學高考數列題賞析

●周丕芬王曉明

(寧波中學 浙江寧波 315100)

例1設Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是 ( )

A.若d<0，則數列{Sn}有最大項

B.若數列{Sn}有最大項，則d<0

C.若數列{Sn}是遞增數列，則對任意n∈N*，均有Sn>0

D.若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數列{Sn}是遞增數列

(2012年浙江省數學高考理科試題)

例2設公比為q(q>0)的等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2，則q=________.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

例3已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*;數列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N*.

(1)求an,bn；

(2)求數列{an·bn}的前n項和Tn.

(2012年浙江省數學高考文科試題)

試題賞析數列是高中數學的重要內容，是學習高等數學的基礎，是高考重點考查的內容之一.2012年的浙江省數學高考數列題，與2011年相比，文科繼續保持了原有的要求及風格，以一個大題的形式出現；而理科雖說考試要求不變，卻改變了出題的風格，從2011年的考查一個大題又回到了之前的只考小題不考大題的風格，考查了2個小題，分別以選擇題和填空題的形式出現.這種形式的改變，與省考試院提供的參考卷對比，的確是在意料之外，但聯系新課程背景之下數列的教材內容，卻也在情理之中.

從試題上來看，數列主要考查等差、等比數列的概念以及通項公式，等差、等比數列的求和公式等基礎知識，同時考查運算求解能力、函數與方程思想等等，以簡約的語言道出了一個真諦“平平談談才是真”！

1 平凡中見知識要求

試題關注對數列基礎知識的考查，力求全面又突出重點，均以等差、等比數列——數列知識中作為支撐的重點內容作為背景來加以命題，并以考查其相關知識構成數列試題的主體，注重知識點之間的內在聯系和知識的綜合性，要求學生能從整體出發考慮問題，體現其思維價值，使對數列基礎知識的考查達到必要的深度.

如例2，考查的是等比數列中的基本量運算，常見解法如下：

解法1基本量思想

將S2=3a2+2，S4=3a4+2轉化成用a1,q表示的式子,即

兩式作差，可得

a1q2+a1q3=3a1q(q2-1)，

即

2q2-q-3=0，

解得

解法2整體思想

考慮所求的q為一個比值，直接將S2=3a2+2,S4=3a4+2兩式作差，得

a3+a4=3a4-3a2，

兩邊同除a2，得

2q2-q-3=0，

下同解法1.

解法3公式代入法

若q=1，則有

方程組無解，故q=1不滿足條件.

若q≠1，則有

解出相應q的值.

從解法比較來看，解法3最為常規，但無疑運算量大，此題明確要求考生從整體出發，能夠對所需解決的問題加以分析，并尋求適當的途徑加以解決.

2 平凡中見能力要求

試題關注《2012年浙江省普通高考考試說明》中強調的“以能力立意”，即以數列的相關知識作為載體，從數列問題入手，側重體現對數列知識的理解和應用，尤其是綜合應用和靈活應用.

如例1涉及到了遞增數列的概念、數列中的最大項及等差數列的前n項和公式的活用等相關的基礎知識、基本技能，常見解法如下：

解法1關注數列與函數的聯系

由等差數列知識，可設

由二次函數的性質知選項A,B,D正確，而選項C只能得到對稱軸的范圍限制，并不能得到相關結論，故選C.

解法2利用相關概念及性質

由d<0，可知必存在m，使得當n≥m時，有an<0，即當n≥m時，有Sn

由等差數列的前n項和數列{Sn}有最大項，可設{Sn}的最大項為Sm，則

從而

即

am-am+1≥0,

即

d≤0.

又已知d≠0，則有d<0，可知選項B正確.

由等差數列的前n項和數列{Sn}為遞增數列，則當n≥2時，Sn-Sn-1>0，即an>0，但無法保證a1>0，即無法保證S1>0，故選項C不能確定.

選項D由任意n∈N*，均有Sn>0，知a1>0，且d>0(可用反證法進行思考)，則有an>0，故數列{Sn}是遞增數列，則選項D正確.故選C.

解法3特殊數列驗證法

舉出反例：-1，0，1，2，3，…滿足數列{Sn}是遞增數列，但是Sn>0不成立．故選C.

此題用來檢測知識的遷移水平，從而檢測出個體的理性思維的廣度和深度，體現能力要求.

3 平凡中見個性品質要求

試題關注思想價值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，注意數學概念、數學本質和解決數學問題的常規方法，體現在試題的情境熟、入口寬、有層次，有利于學生在公平的背景下展示真實水平，體現考生個體的情感、態度和價值觀，表現出考生的思維習慣是否謹慎等.

如例3，解法如下：

(1)由Sn=2n2+n，得

當n=1時，a1=S1=3.

當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=

2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=

4n-1(n∈N*).

由an=4log2bn+3，得

bn=2n-1(n∈N*).

(2)由第(1)小題知

anbn=(4n-1)·2n-1(n∈N*)，

從而

Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,

即2Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)·2n,

因此2Tn-Tn=

(4n-1)·2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=

(4n-5)2n+5,

故

Tn=(4n-5)2n+5(n∈N*).

試題要求考生以平和的心態作答，強調嚴謹性，在例3中主要表現為已知Sn求an問題中的分段討論.聯系以對數作為背景的運算，加強試題的廣度，運用錯位相減法求和，考驗運算能力及心態.

與其他省份的數列試題相對比，浙江省數學高考的數列題難度中等.縱觀各省，對于數列的教材內容有差異，考試要求有所不同，考查的風格也各有特色.但總體來說，等差、等比數列是永恒的背景，基本量運算是不變的旋律，與其他知識的結合是發展的方向，有關的應用問題則是創新的源泉.