異體互對偶變換

文欽若

(河北大學 河北 保定 071002)

1 引言

有一種對稱性可稱為對偶對稱性，而對偶對稱性又可分為兩種，即兩個體系之間的相互對偶與同一個體系自身的對偶，此文只討論兩個體系之間的相互對偶，也可稱為異體互對偶.異體互對偶主要表現在圖形與關系式兩個方面，在物理學中首先注意的往往是關系式.如果兩個物理體系A與B互對偶，則體系A中物理量之間的關系式與體系B中對偶物理量之間的關系式通常具有相同的形式.但應注意，如果體系A與體系B具有某些形式相同的關系式，則并不表示這兩個物理體系就一定是互對偶的.對于異體互對偶而言，所謂對偶原理是指由一個體系中的規律可以推知對偶體系中的規律.如果不能由一個體系中的規律全面而正確地推知另一個體系中的規律，則即使這兩個體系中存在某些形式相同的關系式，也不能認為這兩個體系是互對偶的.對于互對偶的兩個物理體系，構成這兩個體系的各元素以及描寫這兩個體系的各物理量都有一一對應的對偶關系，根據這些對偶關系便可以將其中的一個物理體系變換為另一個物理體系，這種變換便稱為互對偶變換.

2 互對偶的線性電路

2.1 耗能元件與儲能元件

電阻R是耗能元件，設流過R的電流為I，則R所消耗的功率為

P=RI2

(1)

電阻的倒數稱為電導，電導G′也可視為耗能元件，設G′兩端的電壓為U′，則G′所消耗的功率為

P′=G′U′2

(2)

式(1)與式(2)有相同的形式.電感L是儲存磁場能的元件，設流過L的電流為I，則L所儲存的能量為

(3)

電容C′是儲存電場能的元件，設C′兩端的電壓為U′，則C′所儲存的能量為

(4)

式(3)與式(4)具有相同的形式.可認為(1)～(4)式為引入對偶量提供了重要依據.

2.2 基爾霍夫定律

由于線性放大器以及線性雙口網絡(也稱為四端網絡)可以用等效電路代替，所以只考慮由電阻R，電感L，電容C以及電壓源、電流源所構成的線性網絡[1].對于一個完整的線性網絡A，其物理規律可以用基爾霍夫方程組描寫

(5)

l=m+n-2

(6)

通過對偶變換可以得到網絡A的對偶網絡B.A與B的元件數應相等.由(1)～(4)式可推知基爾霍夫第一定律與第二定律應互對偶，則從A變到B的對偶變換應為

(7)

將上式應用到(5)式得

(8)

上式便是描寫網絡B的基爾霍夫方程組.

類似于一個帶小孔的彈性球面可以展開為一個平面，有一些電路圖也可以展開為平面電路圖.平面電路圖的特點是：在平面上沒有交疊的元件與交疊的連線.對于兩個對偶的平面電路圖，如果將這兩個圖A與B疊在一起，由于A與B的元件數相等，則總可以使對偶元件彼此交疊，這時便可看出，A圖中的每一個網孔中必有B圖中的一個節點；B圖中的每一個網孔中也必有A圖中的一個節點，即節點與網孔對偶，且節點處的支路數與對偶網孔的支路數(邊數)相等.因此，從已知網絡A可以用下述作圖方法求出其對偶網絡B：在A圖的每一個網孔中取一點作為B圖的節點，用與A圖中各元件交疊的對偶元件將A圖中對應元件兩邊網孔中的節點連接在一起便可以得到B圖.

對于兩個電阻(或其他兩個線性元件)串聯的電路，此電路有兩個端點，所以不是完整的電路圖.為了得到此電路的對偶電路，可以用一條波浪線將兩個端點連在一起而構成一個完整電路，這條波浪線便代表一條未知的支路.然后用上述方法便可得到其對偶電路圖，從而得知兩個電阻的串聯與兩個電導的并聯是互對偶的電路.對于Π型(或T型等)線性雙口網絡，可以用一條波浪線(代表未知的輸入支路)將輸入口的兩端連在一起，用另一條波浪線(代表未知的負載支路)將輸出口的兩端連在一起，從而構成完整網絡.然后用上述方法也可得到其對偶電路圖，從而可得知Π型線性雙口網絡與T型線性雙口網絡互對偶.

2.3 對偶電路舉例

考慮互對偶的并聯調諧電路與串聯調諧電路.設并聯調諧電路如圖1所示.

圖1

上圖中，虛線表示其對偶電路的形狀.I0=Iasinωt，G0為正弦電流信號源I0的內電導，RL為電感L的繞線電阻，電導Gc稱為電容C的電漏.根據圖1中的虛線與對偶變換可得到圖1的對偶電路圖2為

圖2

(9)

(10)

3 異體互對偶變換的特點

(1)對偶量的量綱不一定相同.在(7)式中，電壓與電流、電阻與電導、電感與電容的量綱都是不同的，但網孔數與節點數的量綱是相同的.此外，(1)式中P與(2)式中P′的量綱以及(3)式中W與(4)式中W′的量綱也是相同的.

(2)對偶量的值是無關的.例如，設體系A中的電阻R與體系B中的電導G′對偶，當將體系A中的關系式變換到體系B中的對偶關系式時，R將以G′代替，而G′的值與R的值毫無關系.

(3)對偶物理量與對偶關系式之間的變換是以對偶圖形與對偶結構為基礎的變換.A與B中各對偶元件具有一一對應關系.

4 線性雙口網絡的對偶等效電路

4.1 線性雙口網絡的參數

放大器、衰減器、傳輸線、變壓器等大都可視為線性雙口網絡，其圖示如圖3.

圖3

上圖中，U1為輸入電壓，I1為輸入電流，U2為輸出電壓，I2為輸出電流.如果在輸入端接一條信號源支路，在輸出端接一條負載支路，則U1，I1，U2，I2便都是完全確定的.在輸入端的信號源支路中可以列出一個關于U1，I1的方程；在輸出端的負載支路中也可以列出一個關于U2，I2的方程.如果不考慮這兩個方程，則對于雙口網絡而言，U1，I1，U2，I2這四個變量中只有兩個是獨立的.從這四個量中取出兩個作為自變量的方法有6種，即C42=6，相應地存在6種基本參數，下面只考慮其中的2種.

(1)微變h參數

在微變h參數中，取I1，U2為自變量，則U1，I2都是I1，U2的函數，即

dU1=u1dU2=u2dI1=i1dI2=i2

(11)

上式采用矩陣形式表示為

(12)

(13)

(2)微變g參數

在h參數中，自變量為I1，U2，因變量為U1，I2.如果將電壓與電流互換，則I1，U2與U1，I2互換.與這種互換對應，在微變g參數中，取U1，I2為自變量，而I1，U2為應變量.由類似于(12)式的推導可得

(14)

比較(12)式與(14)式可知，h與g應互為逆矩陣，即

g=h-1h=g-1hg=1

(15)

4.2 兩個電路中雙口網絡的對偶等效電路

如果兩個電路A，B中都含有放大器等雙口網絡，則通常并不能直觀地看出這兩個電路是否是對偶的.這時，需要將A，B中的雙口網絡都用等效電路圖來代替，然后再討論A，B是否互對偶，當然首先希望兩個雙口的等效電路圖是互對偶的.這時，兩個雙口網絡等效電路圖的對偶尚不是A，B兩個完整電路的對偶，而只是A，B中部分電路的對偶.

圖4

設體系A中的雙口網絡以h參數描寫，則根據(12)式可得其等效電路圖如圖4中(實線)所示.

為了使體系B中雙口網絡的等效電路圖與體系A中的雙口網絡的等效電路圖對偶，體系B中的雙口網絡應以g′參數描寫.將(14)式中的量改為帶撇的量，得

(16)

(17)

5 交叉橋型雙口網絡的對偶網絡

5.1 無源交叉橋型雙口網絡

考慮不含信號源的交叉橋型雙口網絡，如圖5所示.

圖5

圖5中的Z描寫支路的阻抗，其對偶支路將以導納Y′描寫.上圖可以展開為平面電路圖，例如可展開為圖6的電路圖.

圖6

根據平面電路求對偶電路的作圖方法便可由上圖得到下述對偶電路,如圖7所示.

圖7

圖5與圖7互對偶.在圖5中，若Z2=0(短路)，則圖5化為圖8所示的Π型雙口網絡.

圖8

圖9

5.2 網孔的選擇原則

上面已說到，Π型雙口網絡的對偶電路可以根據圖8得到，也可以根據圖6(取Z2=0)得到，兩者的差別可歸結為對網孔的選擇不同.為了能用作圖方法得到平面線性網絡的對偶網絡，對網孔的選擇有一個基本原則：網絡中的每一條支路只能且必須作為兩個網孔的邊.在滿足選擇網孔基本原則的前提下，網孔的選擇方法仍可能有多種，從而使得對于同一個線性電路可以得到多種形式的對偶電路，不過這多種形式的對偶電路實際上都是等效的.

參考文獻

1 秦曾煌.電工學(第四版).北京：高等教育出版社，1990

2 王惠蘭.電路中的對偶原理.物理通報，1994(8)