一道物理競賽題答案的論證與反思

邵 明 張 蓉

(江蘇省清江中學 江蘇 淮安 223001)

上海市第24屆初中物理競賽(大同中學杯)復賽試卷的填空題第12題引起了筆者的注意.

題目：如圖1所示，直角三角板ABC的邊長BC=a，AC=b.開始時AB邊靠在y軸上，B與坐標原點O重合.今使A點沿y軸負方向朝O點移動，B點沿x軸正方向移動，可知三角板從圖1(a)所示的初始位置到圖1(b)所示終止位置的過程中，C點的運動軌跡為____________(選填：“單方向的直線”、“往返的直線”、“一段圓弧”或“非圓弧狀的其他曲線”)，C點在此過程中通過的路程為____________.

圖1

1 論證

1.1 用平面幾何推證C點的軌跡

圖2

直角三角板上C點在此過程中通過的路程為

1.2 用解析幾何推導C點的軌跡方程

設直角三角板的∠A=α，∠B=β(其中α、β均為定值，且均小于90°).圖3為直角三角板的B點沿x軸正方向移動過程中的某個位置.設C點坐標為(x,y)，并過C點分別向x軸、y軸作垂線，垂足為E，F，如圖3所示.很顯然，△ACF與△BCE為相似三角形.易知∠ACF=∠BCE，不妨設為θ[直角三角板在圖1(a)位置θ=β, 在圖1(b)位置時θ=α].則

圖3

所以

即

由上面的函數式可知，C點的軌跡為一條過坐標原點的直線.

又因為

由以上分析可判定，C點的運動軌跡為往返的直線.同樣亦可求出C點在此過程中通過的路程.

1.3 用幾何畫板來描繪C點的軌跡

圖4

圖5

以A，B，C三點為頂點構造三角形，如圖6(a)所示.

用鼠標將圖中的三個圓周同時選中，將其隱藏.選擇B點和C點，由菜單“構造”→“軌跡”(或直接按快捷鍵“Alt+C+U”)，得到C點隨B點移動的軌跡，如圖6(b)所示.

圖6

從圖6(b)中，只能看出C點的運動軌跡是一條直線，但這條軌跡并不能反映出C點的運動是單方向的直線還是往返的直線.在圖7(a)中，用鼠標右擊C點，選擇“追蹤交點”就可以直觀地看出C點隨B點運動的整個過程.圖7(b)、(c)、(d)是C點運動過程中的三個主要位置的截圖.

圖7

2 反思

這道題的主要難點，是對于C點軌跡的判斷.從初中生的角度看，比較可行的方法就是用實踐手段直接觀察.讓那個直角三角板上的C點真的動起來，從而看出C點的運動軌跡是一條直線，甚至亦可以看出C點的運動是往返的.

筆者相信命題者的意圖并非單純考查學生的數學推理能力，而同時要綜合考查學生的動手能力、創新能力和靈活處理問題的能力.當然此題的情境是一道數學問題；如果問題情境能更貼近物理學科，貼近生活實際就更好了.

參考文獻

1 朱亞.利用“幾何畫板”解決物理疑難問題.物理教師,2007(04): 40～41

2 邵明.設計物理實驗方案時應遵循的原則.湖南中學物理,2011(07):41～44