借用轉動慣量的概念解決質點曲線運動問題

韓藝隆

(公安海警學院基礎部 浙江 寧波 315801)

在解決質點曲線運動學問題，尤其是解決質點圓周運動問題時，會用角動量L(L=r×mv)處理，這一物理量是通過動量p得出的.而對于處理剛體的轉動問題用到的角動量、轉動動能是由質點曲線運動的角動量、動能的形式推出的，并總結出了轉動慣量I的表達形式;I的引入大大簡化了剛體轉動問題的處理.

用轉動慣量I，角速度ω，角加速度α，力矩M來處理剛體轉動問題，過程簡單易懂，容易掌握.這時，回過頭來，發現用位移Δr、速度v、加速度a來處理質點曲線運動問題就有些繁瑣了，如果能將處理剛體轉動問題的方法引入到質點曲線運動問題的研究中，應該會更好一些.

質點運動學中衡量物體慣性大小的物理量是質量m.在剛體運動學中衡量物體轉動慣性大小的物理量是轉動慣量I，它既包含質量因素的影響，又包含自身的幾何形狀等因素的影響.其他一些研究質點運動問題常用的物理量在剛體運動學中也都發生了相應的變化：位移Δr變為了角位移Δθ，速度v變為了角速度ω，加速度a變為了角加速度α等.下面就通過質點圓周運動和剛體定軸轉動的兩組公式來具體比較它們之間的一些定理在形式上的不同.

質點圓周運動：

角動量

L=r×mv

其量值為

L=rmv

動能

力矩

M=r×F

其量值為

M=rFt

其中Ft為質點所受到的切向分力.

運動定律(牛頓第二定律)為F=ma

剛體定軸轉動：

先通過質點集的角動量表達形式得出

再得出剛體的轉動慣量

對于質量連續分布的情形

可得角動量L=Iω

其量值為

L=Iω

動能

力矩

M=r×F

其量值為

M=rFt

動能定理

運動定律(轉動定理)M=Iα

其量值為

M=Iα

通過以上兩組公式的比較，可以發現，研究質點運動與研究剛體運動的定理雖具有對稱的形式，但所用的物理量截然不同.那么在它們之間是否可以建立起聯系，使之具有相同的表達形式呢？下面將質點圓周運動的數學表達式改變一下形式.

角動量

L=r×mv

其量值為

L=rmv=rmωr=mr2ω

動能

力矩

M=r×F

其量值為M=rFt=rmat=rmαr=mr2α

動能定理

而對于質點圓周運動的運動定律，將等式兩邊同時左叉乘r，可得

r×F=r×ma

其數值表達式為

M=rmαr=mr2α

通過這組改變后的表達式可以發現，質點做圓周運動時的角動量、動能、力矩值的大小以及運動定律都與mr2有關.筆者在這里做一個新的嘗試，即認為mr2為質點做圓周運動時相對于圓心具有的轉動慣量I，那么上一組表達式即變為

角動量L=r×mv

其量值為L=rmv=rmωr=mr2ω=Iω

動能

力矩

M=r×F

其量值為M=rFt=rmat=rmαr=mr2α=Iα

動能定理

運動定律

M=Iα

這便與剛體定軸轉動時的數學表達式的形式相同了.

在剛體運動學中，當轉軸不經過剛體質心時，可以通過平行軸定理來計算剛體的轉動慣量

I=Ic+md2

Ic為剛體相對于通過自身質心且垂直于轉動平面的轉軸的轉動慣量，m為剛體的質量，d為剛體質心至轉軸的距離.在這里，將質點看成是特殊的剛體，只有質量，沒有體積(即幾何半徑R=0)，那么質點作圓周運動時的所具有的轉動慣量可表述為

其中d=r，r為圓周運動的半徑.所以此時質點的轉動慣量就為I=mr2.這與我們上述討論的結果完全一致.

在此討論過程中，為了便于理解，故選用質點做圓周運動為例.其實此結論同樣可適用于質點的直線運動和其他形式的曲線運動，只不過r的意義應為所選的參考點到質點的速度矢量所在直線的垂直距離，這樣便可把質點運動與剛體運動的知識統一起來；同時在學生頭腦中初步建立起了物理知識具有對稱性這一概念，為后面的學習建立基礎.

參考文獻

1 漆安慎，杜嬋英.力學.北京.高等教育出版社，1998

2 程守株，江之水.普通物理學(第一冊).北京.高等教育出版社，1998