一個傳統力學問題的新探討

林輝慶

(杭州市余杭高級中學 浙江 杭州 311100)

1 一道傳統的力學題

圖1所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長L=20 m，高h=2 m，斜坡上緊排著一排滾筒．長l=8 m，質量m=1×103kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數為μ=0.3．工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v0=4 m/s．假設關閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉動．取當地的重力加速度g=10 m/s2．試求鋼錠從坡底(如圖1所示位置)由靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少需要工作的時間．

圖1

2 常見解析

斜坡與水平面夾角θ的正弦

代入數據得

sinθ=0.1

初始階段鋼錠做加速運動，加速度為

代入數據得

a1=2 m/s2

經過時間t1，鋼錠的速度與滾筒邊緣的線速度相等

代入數據得

t1=2 s

t1時間鋼錠的位移為

代入數據得

x1=4 m

接著鋼錠做勻速運動．為使電動機的工作時間最小，在鋼錠的b端還沒有到達坡頂時關閉電動機，鋼錠由于慣性向上沖到坡頂，整個過程的v-t圖線如圖2所示．

圖2 鋼錠做勻速運動的v-t圖線

鋼錠上沖的加速度大小為

代入數據得

a2=4 m/s2

鋼錠上沖的距離為

代入數據得

x2=2 m

鋼錠勻速運動的位移為

x0=L-l-x1-x2

代入數據得

x0=6 m

鋼錠勻速運動的時間為

代入數據得

t0=1.5 s

電動機最小工作時間為

t小=t1+t0

代入數據得

t小=3.5 s

3 來自學生的新探討

上題是中學物理常見的傳送帶問題的變式，就解題思路來說，它是個老問題．上述解答一直被中學師生所認同，各種教學參考資料和中學物理教學雜志，也都沒有對此提出過異議．在2011學年的高三復習中，筆者的一名學生提出了不同的觀點．

這個學生指出，把圖2中t1～t1+t0時間內的勻速運動，改為電動機關閉、啟動、關閉、啟動……的變速運動，讓鋼錠在慣性的作用下運動更多的路程，電動機的啟動時間會更小．

設“關閉、啟動”n次，電動機關閉后，鋼錠速度減小到vn，立即重新啟動，鋼錠的v-t圖線如圖3所示．由運動學公式有

得到

圖3 重新啟動鋼錠的v-t圖線

在不斷減速、加速的階段，電動機開動的總時間為

(1)

取n=3，得到

取n=4，得到

取n=5，得到

可見，只要電動機關閉、開動的次數n≥4，則t0n

把式(1)化為

(2)

從式(2)看出，n越大，t0n越小．令n→∞，得到t0n的最小值

代入數據得

t0小=1 s

(3)

圖4 鋼錠的平均速度圖線

到此，另有學生提出，在鋼錠的加速階段，即在圖2中的0～t1時間，通過電動機關閉、啟動的運行方式，利用慣性滑行，是否也能減小電動機總的啟動時間？如圖5，在速度還沒有達到v0時，電動機的一個關閉、啟動“動作”，使速度減小Δv后，再加速到原來的值，與速度達到v0后，電動機的一個關閉、啟動“動作”，速度減小Δv后，再加速到與原來的值相比，兩者所用的時間Δt相同，但鋼錠的位移(v-t圖線下的面積)是后者大．反之，要使速度還沒有達到v0時電動機的一個關閉、啟動的“動作”，與速度達到v0后電動機的一個關閉、啟動“動作”，鋼錠的位移相同，所用的時間一定是后者小．所以，要使電動機總的啟動時間最小，應該讓鋼錠從靜止開始一直加速到v0，然后，讓電動機不斷地關閉、啟動，再在適當的時候關閉電動機，使鋼錠減速運動到坡頂時速度剛好為零．

圖5

這樣，要把鋼錠從坡底運送到坡頂，電動機的最小工作時間應為t小=t1+t0小=3 s，而不是3.5 s．

隨之，又有學生提出了這樣一個問題，采用不斷關閉、開動的方式，能減小電動機總的啟動時間，那么，能否減小電動機做的總功呢？

設在一個關閉、啟動“動作”中，鋼錠加速的時間為Δt，鋼錠的位移為Δx，由運動學公式有

v0-vn=a1Δt

(4)

(5)

鋼錠對滾筒的滑動摩擦力為μmg，滾筒做勻速轉動，電動機對鋼錠做的功

ΔW′=μmgv0Δt

(6)

由式(4)～(6)及a1和a2的表達式得到

(7)

在不斷的減速、加速階段，電動機做的總功

(8)

如果鋼錠速度達到v0后做勻速運動，鋼錠作用于滾筒的是靜摩擦力，大小為mgsinθ，電動機做的功為

W=mgsinθx0

(9)

聯立式(8)、(9)得

(10)

由于

所以有

可見，采用不斷關閉、啟動電動機的方式，電動機做的總功不但不會減小，反而增加了．這是容易理解的，鋼錠勻速運動，電動機做的功等于鋼錠重力勢能的增加；電動機不斷地關閉和啟動，鋼錠與滾筒之間有相對運動，電動機做的總功等于鋼錠重力勢能的增加與鋼錠與滾筒之間摩擦產生的熱量之和．

需要說明的是，讓電動機不斷地關閉、啟動很多次，在實際操作上是不可取的，但上述探討仍是有意義的．在理論上，它使我們認識到，要使物體從一個地方移動到另一個地方，盡量利用慣性滑行，能減小外力的作用時間．在教學上，這樣的探討，能培養學生的探究精神和探究能力．

4 教學啟示

這個事例對教學的啟示是，教師由于反復地接觸學科知識和學科問題，容易形成思維定勢，容易局限于常規的理解，從而失去發現問題的敏銳眼光，相反，初學的學生，思維和認知往往更加敏銳，他們會基于自己的知識背景，從更一般的角度思考和分析學科問題．教師的觀點與學生的觀點相比，有時教師的觀點較為片面甚至是錯誤的，而學生的觀點則更具有創造性．所以,在教學中教師應該充分發揚民主，為學生發表各種觀點創造條件，并把學生的觀點當做最重要的教學資源，鼓勵不同觀點交鋒、碰撞，使課堂不斷閃爍智慧的火花，使教學充滿生命的活力．