淺論正多邊形帶電環 盤 筒 柱的場強

萬嵩林 范雙菲 傅 蕓 李秉釗 滕保華

（電子科技大學 四川 成都 610054）

1 引言

靜電學中對一定電荷密度的環、盤、筒、柱中軸線上的電場強度已經有了較詳盡的討論［1，2］，但有關正多邊形環、盤、筒、柱中軸線上電場強度的系統討論，以及對其場強分布的代數性質，形狀對電場強度大小的影響并不多見.本文將系統計算正多邊形的環、盤、筒、柱帶電體中軸線上的電場強度，并分析了其場強分布的代數性質差異及帶電體形狀對其電場強度的影響.

2 電場強度的計算與分析

2.1 正多邊形環與盤

對正多邊形環（邊數為n，帶電荷量為q，周長為l），其中軸線上任意點的電場強度表示為［3］

而對正多邊形盤（邊數為n，帶電荷量為q，面積為S），利用疊加原理將式（1）積分，可得其中軸線上的電場強度為

式（2）盤中心的電場強度為零是考慮到帶電盤的對稱性.

于是均勻帶電正多邊形環與盤在其中軸線上的電場強度如圖1所示.從圖1（a）可以發現，正多邊形環中軸線上場強分布呈峰狀結構，場強最大值在原點外側，函數光滑且處處可導，代數性質良好；而圖1（b）正多邊形盤中軸線上場強分布呈單調遞減，場強最大值在原點附近但為一間斷點，此處既不連續更不可導，代數性質較差.

圖1 正多邊形環和盤中軸線上的場強分布，其中l＝1m，S＝1m2

同時發現，正多邊形環中軸線上場強大小與其多邊形邊數n的關系比較敏感，即場強隨著n的增大而明顯減小，而以圓形為最小，但是正多邊形盤中軸線上場強大小與n的依賴關系很小.

2.2 正多邊形筒與柱

如圖2，對正多邊形薄筒（邊數為n，帶電荷量為q，筒長為H，截面周長為l），可視其為無限個帶電環的疊加，將式（1）積分可以得到薄筒中軸線上任意點M的場強分布［4］為

圖2 正多邊形筒和柱示意圖

而對正多邊形柱（邊數為n，帶電荷量為q，筒長為H，截面積為S），可視其為無限個帶電盤的疊加，將式（2）積分可以分別得到中軸線上柱內、外的場強分布為

圖3 正多邊形筒和柱中軸線上的場強分布，其中H＝1m，l＝1m，S＝1m2

另外，正多邊形薄筒和柱的邊數n對電場強度的影響與環和盤的情形類似，即正多邊形薄筒中軸線上的場強受n的影響較大，而正多邊形柱的場強受n的影響很小.

3 結論

本文從正多邊形帶電環出發，利用疊加原理系統解析計算了正多邊形帶電盤、筒、柱中軸線上場強分布，并通過分析4類帶電體的電場特征得出以下結論即正多邊形帶電體的電荷分布特點明顯影響其場強的代數性質，從所做的幾項計算中顯示，環、筒的明顯優于盤、柱，然而，正多邊形的邊數對其場強大小的影響程度卻不相同，即對環、筒的影響明顯大于對盤、柱的影響.

1 張三慧.大學基礎物理學（下）.北京：清華大學出版社，2007

2 馬文蔚.物理學（上）.北京：高等教育出版社，2006

3 李成金，趙勛杰.正多邊形帶電框，帶電面軸線上的場強分布.物理與工程，2006，16（5）：25～27

4 李成金.有限長均勻帶電圓柱體軸線上的場強.錦州師范學院學報，2001（4）：22，55