髙等幾何對初等幾何教學的指導作用

周明旺

(連云港師范高等專科學校 數學系,江蘇 連云港 222006)

高等幾何是師范院校數學教育專業的重要基礎課之一,在群論觀點下完善幾何理論體系、更新思想觀念、訓練思維方法、對培養探求知識能力起著重要作用.而且幾何體系的建立與完善只有通過幾何群論觀點的熏陶,才能夠準確地認識幾何空間的特征、研究方法及內在聯系,確認幾何學的本質,進而居高臨下地認識初等幾何的內涵與外延,更深入地掌握并指導初等幾何的教學與研究.

下面將通過實例就仿射變換在指導初等幾何教學應用中的獨特性、巧妙性和靈活性加以分析、闡述.

1 預備知識

定義2 經過任何仿射變換不改變的數量叫做仿射不變量.

引理1 仿射變換保持同素性,結合性,平行性不變.

定理1 在仿射變換下,任意兩封閉圖形面積之比不變.

2 主要結果

2.1 利用仿射變換求最值問題

例1 求橢圓內接三角形面積的最大值.

例2 求橢圓內接矩形面積的最大值.

解采用與例1類似的方法,可求得橢圓內接矩形面積的最大值為2ab(a,b分別為橢圓的長半軸與短半軸).

2.2 利用仿射變換證明問題

例3 設A,B分別是橢圓在坐標軸上的兩個頂點,C為線段AB的中點,則過射線OC與橢圓的交點的切線平行于AB.

證明如圖1所示,在仿射變換φ下由仿射變換φ的性質,C'為A'B'的中點.再由圓的性質知l'∥A'B'.從而,由仿射變換φ保持平行性知l∥AB.

圖1 橢圓的φ仿射變換

例4 (阿波羅定理) 以橢圓一對共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的面積為定值.

事實上,圓O'中以共軛半徑為鄰邊的平行四邊形都是面積相等的正方形.由仿射性質知

即S=S.由于其任意性得證,且定值為以橢圓半軸為鄰邊的矩形面積ab.

圖2 以橢圓一對共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的φ仿射變換

通過以上各例可以看出,利用仿射變換的性質,其解題思路簡潔明了;若用初等幾何的方法就比較困難.

3 結語

髙等幾何的學習不僅是幾何體系完整性的要求,而且對于在群論觀點下幾何觀念的樹立具有獨特作用,尤其是髙等幾何所提供的豐富的數學思想對指導初等幾何教學研究意義深遠.

參考文獻：

[1]梅向明,劉增賢,林向巖.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[2]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]馮福存.仿射性質求橢圓內接三角形的最大面積[J].綿陽師范學院學報,2009,28(11):5-11.

[4]周明旺.調和比在指導初等幾何教學中的應用[J].宜春學院學報,2011,33(4):3-6.