廣義分數階線性定常系統的狀態響應

徐天博

(大連交通大學 理學院,遼寧 大連 116028)

目前,幾乎所有的以微分方程描述的控制系統,其微分均考慮為整數階.實際上, 許多物理系統因其特殊的材料和化學特性而展現出分數階動力學行為.實際系統通常大都是分數階的,采用分數階描述那些本身帶有分數階特性的對象時,能更好地揭示對象的本質特性及其行為.之所以忽略系統的實際階次(分數階),主要是因其復雜性和缺乏相應的數學工具.近年來分數階相關成果不斷涌現[1,2,3].當然,目前對分數階系統的研究還不深入，尤其是廣義分數階系統的研究剛剛展開.本文定義了廣義分數階線性定常系統正則和p-δ函數，給出了狀態方程解的一般表達式.

1 預備知識

1.1 分數階微積分

分數階微積分理論是研究任意階微分和積分的,有關分數階積分和微分的定義可見文獻[1].

(1)Riemann-Liouville 定義

(2)Caputo定義

對Caputo分數階微分取Laplace變換有

1.2 廣義分數階線性定常系統的狀態方程可以描述為

2 廣義分數階線性定常系統及其解

廣義分數階線性定常系統的狀態方程可以描述為

對廣義分數階系統進行受限等價變換：

當矩陣對(E，A)正則時，總存在可逆矩陣P，Q，使得

x1(t)∈Rr,x2(t)∈Rn-r，有

Dqx1(t)=A1x1(t)+B1u(t),y1(t)=C1x1(t)

(1)

NDαx2(t)=x2(t)+B2u(t),y2(t)=C2x2(t)

(2)

和整數階廣義系統中相類似，(1)、(2)式所作分解也稱為快慢子系統分解，并稱(1)式為慢子系統，(2)式為快子系統.

本文考慮如下正則的廣義分數階系統

引理1[2,3]分數階定常系統

引理2 定義P-δ函數

證明

令

定理1 當t≥0時，廣義分數階定常系統

的狀態響應為

(3)

.

證明Dαx1(t)=A1x1(t)+B1u(t),y1(t)=C1x1(t)對慢子系統，對任意的初始狀態，廣義系統的解唯一，由引理1慢子系統的解為

(4)

另一方面，對快子系統NDαx2(t)=x2(t)+B2u(t)，n-1<α

當矩陣對(E,A)正則時，有

.

所以

兩邊同時取Lapalace逆變換，有

(5)

其中

m=[αl+α-k-1]+1-(αl+α-k-1)

證畢.

可以看出，分數階廣義系統的解中含有類似于整數階廣義系統的脈沖項和輸入的導數項.

參考文獻：

[1]Podlubny I.Fractional differential equations[M].San Diego:Academic Press,1999.

[2]曾慶山,曹廣益.分數階線性系統的能觀性研究[J].系統工程與電子技術,2004(11).

[3]曾慶山,馮冬青,曹廣益.基于分數階微分方程描述的系統的能控性和能觀性判據[J].鄭州大學學報:工學版,2004(1).

[4]楊冬梅,張慶靈,姚波.廣義系統[M].北京:科學出版社,2004.