Minkowski平面的多序半群與多序半線性空間

葛力銖,李武明

(1.通化師范學院 數學系,吉林 通化 134002:2.吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136001)

1 預備知識

1.1 Minkowski平面的表述

Minkowski平面(亦稱時空平面，簡記為M平面)是帶有Minkowski內積(簡稱M內積)的2維實線性空間，有多種表述方式.

例1 在雙曲復平面H={x+jy|x,y∈R,j2=1,j?R}上引入M內積：

(x1+jy1)·(x2+jy2)=x1x2+jy1(jy2)*=
x1x2+jy1j*y2=x1x2-y1y2,

則H平面成為Minkowski平面.

例2 在2維實線性空間R2={(x,y)|x,y∈R}上引入M內積

(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2-y1y2

則R2成為Minkowski平面.

例3 4維實Clifford代數Cl1，1的生成空間R1，1={xe1+ye2|x,y∈R},作為Cl1,1的2維子空間關于Cl1,1的內積：e1·e1=1,e2·e2=-1,e1·e2=e2·e1=0作為Minkowski平面.

本文由R1,1表述Minkowski平面.

1.2 定義與例子

定義1 設(G,+)為半群，(A,+,·)為半環.若存在映射：A×G→G,(r,g)|→rg使得?g1,g2∈G,r1,r2∈A有

(1)r1(g1+g2)=r1g1+r1g2(g1+g2)r1=g1r1+g2r1,

(2)(r1+r2)g1=r1g1+r2g1,(r1r2)g1=r1(r2g1)

則稱G為半環A上的半線性空間(簡稱半線性空間).

定義2 設(A，+，·)是半環，若半群(A，+)還是半環P上半線性空間，且?a∈P,x,y∈A有a(xy)=(ax)y=x(ay),則A為半環P上半線性代數.

定義3 (序半群)設G為半群，是G的一個半序關系，使當ab(a,b∈G)時，對?c∈G有caG有cacb與acbc成立，則稱G為序半群，記為(G,).

定義4 (序半線性空間)設(G,)為序半群.若G還是半環A上半線性空間，使得ab時，對任意r∈A有rarb，則稱(G,)為序半線性空間.

2 Minkowski平面的多序半群結構

2.1 定義與例子

定義5 (多序半群)設G是一個半群，i(i∈I)為G的半序關系，(G，i)i∈I稱為多序半群.設J?I,則稱(G，j)j∈J為多序半群(G,i)i∈I的限序半群.

例4J=I時，(G,j)j∈J=(G,i)i∈I;J=φ時，(G,i)i∈I的平凡限序半群.|J|=1時，存在i=1使得(G,j)j∈J=(G,i).

上例表明，半群與序半群均為多序半群的特殊情形.

定義6 (多序半線性空間)設(G，i)i∈I為多序半群，若G還是(半環R上)半線性空間，使得任取i∈I有(G,i)是序半線性空間，則稱(G，)i∈I為多序半線性空間.

例5 類同與例4可知，半線性空間與序半線性空間均為多序半線性空間的特殊情形.

對于Minkowski平面R1，1={xe1+ye2|x,y∈R}，定義其未來類時區為

在R1，1中引入半序關系：ab?則(R1，1,)為序半線性空間.

定義7 (多序錐)設G為半群，(G，)為序半群，令

G(a,)={b∈G|ab}

稱其為G的以a為頂點的半序錐.

例6 對于例5中的(R1，1，)，?a∈R1，1，R1，1的以a=a1e1+a2e2為頂點的半序錐為R1，1(a,)={b=b1e1+b2e2∈R1，1|b2-a2≥|b1-a1|，等號成立當且僅當a=b}.

2.2 Minkowski平面R1，1的類時半群，類空半群與類光半群

?w=xe1+ye2∈R1，1,w·w=x2-y2<0(>0,=0)時分別稱為類時(類空，類光)向量.

R1，1中所有類光向量所成集可記為N={w∈R1，1|w·w=0}，它將R1，1中的向量分成四部分，記為R1，1(i),i=1,2,3,4

易知，(R1，1(i),+)均為(R1，1,+)的子半群.且R1，1(i)中的非零元為非類光向量，稱R1，1(2)(R1，1(1))與R1，1(4)(R1，1(3))為R1，1的類時(類空)半群，與此相對應，零向量將全體類光向量N分成四部分，記為N(i),i=1,2,3,4

(N(i),+)也構成(R1，1,+)的子半群，稱為R1，1的類光半群.

利用如上半群，可構建R1，1的多序半群結構

例7 令w1iw2?w2-w1∈R1，1(i)，則(R1，1,i)(i∈{1,2,3,4})為序半群，而(R1，1,i)i∈{1,2,3,4}為四序半群.

例8w1～2wi?w2-w1∈N(i)，則(R1，1,～i)i∈{1,2,3,4}也是四序半群.

例9 將例7及例8中的R1，1看做半環R+上的半線性空間，則(R1，1,i)i∈{1,2,3,4}與(R1，1,～i)i∈{1,2,3,4}均為多序半線性空間.

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