兩群人口方程的適定性與譜特征

王 娟， 張齊鵬

(1.信陽師范學院 數學學院 河南 信陽 464000；2.南陽師范學院 數學學院 河南 南陽 473061)

0 引言

對人口發展過程的定量研究始于上世紀40年代，多數學者所研究的都是單群模型[1-6]，即對所研究的國家或地區的人群不加區分，假設他們具有相同的死亡率和出生率.然而，幾乎所有的國家都有不同的民族或種族構成，每一個民族或種族都有各自不同的生活習慣、出生率和死亡率.因此，研究由不同民族或不同種族構成的國家或地區的人口發展規律有其重要性和現實意義．

本文建立兩群人口發展模型，即假設一個國家或地區由兩個民族或種族構成，每個民族或種族具有各自的出生率和死亡率，兩民族或種族之間存在婚姻關系.運用泛涵分析及有界線性算子的C0半群理論，討論了相應的人口算子的譜分布，證明了兩群人口算子的譜由至多可數個孤立的有限重的本征值構成，得到了兩群人口系統解的存在唯一性.

1 兩群人口發展模型

假設某一國家或地區的人口由兩類人群構成(可以是兩個民族，也可以是兩個種族)，用p1(a,t),μ1(a)，β1(a),p2(a,t),μ2(a),β2(a)分別表示t時刻第1、第2類人群的年齡密度函數，出生率和死亡率，qi(a)(i=1,2)表示第i群中年齡為a的父母出生的嬰兒屬于第i群的比例，則(1-qi(a))表示第i群中年齡a的父母出生的嬰兒屬于第j(j=1,2)群的比例，設rm為該地區人口所能活到的最大年齡，[r1,r2]為育齡區間，則兩群人口發展方程可用帶積分邊界條件的方程組描述：

(1)

為研究問題方便，引進記號：

因此，系統(1)可寫為

(2)

選取狀態空間H=L2[0,rm]×L2[0,rm]，定義內積和范數：

顯然H是一個Hibert空間，在H上定義算子A:

式(2)可以寫為H上的抽象Cauchy問題：

這里，A稱為兩群人口發展算子.

2 兩群人口發展算子的譜特性

本節討論兩群人口發展算子A的譜特性.用σ(A)表示A的譜集，ρ(A)表示A的預解集，R(λ,A)=(λI-A)-1表示A的預解式.

引理1設λ是一個復數，且

F(λ)=(1-ω11(λ))(1-ω22(λ))-ω21(λ)ω12(λ)≠0,

則λ∈ρ(A)，預解算子R(λ,A)是一個緊算子.其中

證明對任意的y(a)∈H,考慮

(λI-A)p(a)=y(a).

(3)

由A的定義，(3)式可寫為

(4)

則(3)有解

(5)

其中,

由式(4)和(5)知Ci(i=1,2)滿足線性方程組

(6)

顯然,F(λ)是(6)的系數行列式.設

顯然V是空間H中的一維算子，因此，V是空間H中的一個緊算子.由

則Ui是空間L2[0,rm]中的一個Volterra積分算子.從而，Ui是空間L2[0,rm]中緊算子.U=(U1,U2)T是空間H中的緊算子.因此，由R(λ,A)=Uλy+Vλy,則R(λ,A)是空間H的緊算子.證畢.

引理2設λ是一個復數，且F(λ)=(1-ω11(λ))(1-ω22(λ))-ω21(λ)ω12(λ)=0,則λ是A的幾何重數為1的特征值，它所對應的特征向量為p(a)=(p1(a),p2(a))T.其中

證明考慮(λI-A)p(a)=0,即

(7)

方程(7)有解

(8)

其中，Ci是常數.由式(7),(8)，知Ci滿足線性方程組

(9)

顯然,F(λ)是線性方程組(9)的系數行列式.由F(λ)=0知，系數矩陣的秩為1.因此，方程組(9)存在非零解Ci(i=1,2),并且解空間的維數是1.

設C為一任意常數,令C1=C，則C2=C(1-ω11(λ))/ω12(λ).由式(8)得方程(7)的解p(a)=(p1(a),p2(a))T，其中，

證畢.

由引理1和引理2，容易得到定理1和定理2.

定理1人口算子A的譜有以下特征:

(i)A的譜集σ(A)是由孤立的有限重數的特征值構成，并且λ∈σ(A)?F(λ)=0；

(ii)設λ是A的特征值，則λ的幾何重數是1，并且它的特征向量為p(a)=(p1(a),p2(a))T.其中,

定理2算子A的譜集由至多可數個孤立的特征值構成，并且每個特征值的代數重數是有限的.

3 兩群人口系統解的存在性和唯一性

應用C0半群的Hiille-Yosida定理[7]來證明兩群人口系統解的存在性和唯一性.

引理3兩群人口算子A在空間H中是閉的、稠定的算子.

證明由定理2知，A的預解集是非空的，因此，A是閉算子.設

L={p(s)|p(s)=(p1(s),p2(s))T,pi(s)∈C∞[0,rm],

?Ci,0

Ci滿足

定理3算子A生成C0半群.

證明對p(s)∈D(A)，有

設ω=2a0,則對α>ω,有

‖(αI-A)p‖2=<(αI-A)p,(αI-A)p>≥α2‖p‖2-2a0α‖p‖2≥(α-ω)2‖p‖2.

由定理1和引理3,可知α∈ρ(A),因此，對任意的y(a)∈H,有R(α,A)y∈D(A),且

‖y‖2≥(α-ω)2‖R(α,A)y‖2,

由引理3、定理3得定理4.

定理4若p0(a)∈D(A)，則系統(1)存在唯一解，并且唯一解可以表示成p(a,t)=T(t)p0(a).

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