有多個跳躍源的跳擴散模型的期權(quán)定價

顏 玲， 王永茂， 劉海濤， 王怡菲， 劉 超， 吳琳琳

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

在金融數(shù)學(xué)中，期權(quán)定價問題是核心問題之一.文獻[1]在1973年利用偏微分方程理論推出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式，Black-Scholes公式是用幾何布朗運動來描述股票價格的波動規(guī)律.由于幾何布朗運動是連續(xù)的隨機過程，所以它無法描述股票價格有大幅度波動的情況.實踐表明，股票的價格可能會出現(xiàn)間斷的跳躍.Merton[2]在1976年建立了股票價格的Possion跳擴散模型，用擴散過程來表示股票價格的連續(xù)波動，用跳過程來表示股票價格的不連續(xù)波動．還有很多研究者都對股票價格波動進行了研究[3-5].本文在假設(shè)資產(chǎn)股票價格的跳過程為比Possion過程更一般的一類更新過程的基礎(chǔ)上，進一步考慮受多個跳躍源影響的情況.利用等價鞅測度變換方法，給出了具有隨機利率的跳擴散模型的期權(quán)定價公式.

1 預(yù)備知識

對于計數(shù)過程{Nt,t≥0}，如果每次事件發(fā)生的時間間隔T1,T2…相互獨立，而且服從同一參數(shù)為λ指數(shù)分布，則此計數(shù)過程為參數(shù)λ的Poisson過程.更新過程是Poisson過程的推廣，下面討論一類特殊的更新過程.

定義2[6]設(shè){Nt,t≥0}是更新過程，其更新間距Tn服從Γ(α,λ)分布,α≥1，即Tn具有密度函數(shù)

則稱Nt=sup{n:τn≤t,t≥0}為一類特殊的更新過程.

引理1[6]若{Nt,t≥0}是定義1，2中的特定的更新過程，記Pn(t)=P(Nt=n)，則

(1)

當(dāng)α為正整數(shù)時

(2)

特別，當(dāng)α=1時

(3)

2 期權(quán)定價

在給定的一個無套利、無稅收、無交易成本、無摩擦、可連續(xù)交易的完全金融市場，此金融市場中僅有兩種資產(chǎn)，一種是可連續(xù)交易的風(fēng)險資產(chǎn)(股票)St，另一種為到期日為T的零息債券B(t,T)，在風(fēng)險中性概率測度下，它們分別滿足隨機微分方程：

(4)

(5)

其中，r(t)為隨機短期利率；σ(t)為沒有跳躍時股票價格的波動率；δ(t,T)為債券波動率；W1(t),W2(t)為概率空間(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，且ρ(W1(t),W2(t))=ρ,0≤|ρ|≤1，Ui(Ui>-1)為隨機變量，是股票價格發(fā)生跳躍時股票價格的相對跳躍高度.

定理1設(shè)St,B(t,T)滿足隨機微分方程(4)和(5)，則到期日為T，執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)定價公式為

(6)

證明若股票價格St和債券價格B(t,T)分別滿足隨機微分方程(4)和(5)，C(t,St)為看漲期權(quán)在t時刻的價值，由引理2得

(7)

由Girsanov定理[8]知，W0*(t)為P*下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，從而得知

(8)

在測度P*下,

所以

(9)

用類似的方法可以得到

(10)

將(9),(10)代入(7)式化簡后可得

如果將0時刻改為t時刻，用類似的方法可得定理2.

定理2設(shè)St,B(t,T)滿足隨機微分方程(4),(5)，到期日為T，則執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格為

其中,

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