邏輯系統L*中公式的隨機真度

2012-01-05 02:32:36左衛兵

鄭州大學學報(理學版) 2012年1期

左衛兵

(華北水利水電學院數學與信息科學學院河南鄭州 450046)

0 引言

計量邏輯學[1-6]基于均勻概率的思想提出了命題邏輯系統中公式的真度和邏輯度量空間的理論,它將數理邏輯的形式化、符號化與計算數學的數值計算、近似求解聯系起來,讓形式化的數理邏輯具有了靈活性并擴大其應用范圍,但也存在缺少隨機性的不足.在計量邏輯學中,每個原子公式被賦予了相同的真度,使得兩個形式完全相同的公式的真度一定相等,這不符合現實世界中各種簡單命題成立的概率不盡相同的事實,因為各簡單命題是否為真以及為真的程度是不確定的、隨機的.為此，文獻[7]利用賦值集的隨機化方法,在經典命題邏輯系統中提出了公式的隨機真度概念和隨機邏輯度量空間的理論,實現了概率邏輯學與計量邏輯學的融合.文獻[8-10]又在三值R0、三值Godel和三值Lukasiewicz命題邏輯系統中進行了類似的隨機化研究,但文獻[7-10]進行隨機化研究的邏輯系統均是離散值邏輯系統,本文則利用文獻[11]中提出的賦值概率密度結合賦值集的隨機化方法，在模糊命題邏輯L*中提出了公式的隨機真度、公式間的隨機相似度和偽距離的概念,建立了3種隨機邏輯度量空間,證明了隨機邏輯度量空間中邏輯運算的連續性,為在模糊命題邏輯中進行隨機真度的近似推理拓寬了思路.

1 預備知識

設S={q1,q2,…}是可數集,是一元運算,∨與→是二元運算,由S生成的 {,∨,→}型自由代數記作F(S).F(S)中的元素稱為命題或公式,S中的元素稱為原子命題或原子公式.

定義1[4]R0型命題邏輯系統記為L*,其公理如下：

(L*1)A→(B→A); (L*2)(A→B)→(B→A);

(L*3)(A→(B→C))→(B→(A→C)); (L*4)(B→C)→((A→B)→(A→C));

(L*5)A→A; (L*6)A→A∨B;

(L*7)A∨B→B∨A; (L*8)(A→C)∧(B→C)→(A∨B→C);

(L*9)(A∧B→C)→(A→C)∨(B→C); (L*10)(A→B)∨((A→B)→A∨B).

L*中的推理規則為MP，以上A∧B是(A∨B)的縮寫.

同時,在系統L*中,用A?B表示A→B,用A?B表示(A→B).(→,?)為伴隨對,滿足a?b≤c當且僅當a≤b→c,a,b,c∈[0,1],此處[0,1]為R0單位區間.

引理1[4]在系統L*中,設a,b,c,d∈[0,1],則

(1)(a∧c)?(b∧d)≤(a?b)∧(c?d),

(2)(a→b)?(b→c)≤(a→c).

定義2設R={p1(x),p2(x),…}為[0,1]上的函數列,且pi(x)(i=1,2,…)為賦值密度函數[11],稱R為賦值密度函數序列.

本文討論系統L*中相關問題,所引用的概念、符號及性質若未加說明的均參見文獻[4-5].

2 公式的隨機真度

注易見公式A的隨機真度是文獻[11]中概率真度的推廣.

由定義4及系統L*的基本性質易得如下結論：0≤τ(A)≤1；A為幾乎重言式當且僅當τ(A)=1；A為幾乎矛盾式當且僅當τ(A)=0；τ(A)=1-τ(A),τ(A?A)=0,τ(A?A)=1,τ(A(∨B)≥τ(A)∨τ(B),τ(A∧B)≤τ(A)∧τ(B).

定理1設A,B∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)若├A→B,則τ(A)≤τ(B)；(2)若A～B,則τ(A)=τ(B)；

(3)τ(A∨B)=τ(A)+τ(B)-τ(A∧B)； (4)τ(A∨B)≥τ(A)+τ(B)-1；

(5)τ(A→B)≤τ(A∧B)-τ(A)+1； (6)τ(A→B)≤τ(A)→τ(B).

證明(2)與(4)分別是(1)與(3)的直接結論.

命題3設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)τ(A→(A?B))=1,τ((A?B)→A)=1,τ(A→B→(A?B))=1.

(2)τ((A?B)→C)=τ(A→(B→C)).

(3)τ(A?(B∨C))=τ((A?B)∨(A?C)),τ(A?(B∧C))=τ((A?B)∧(A?C)).

(4)τ(A?(B∨C))=τ((A?B)∨(A?C)),τ(A?(B∧C))=τ((A?B)∧(A?C)).

(5)τ(A?B)≤τ(A∧B)≤τ(A∨B)≤(A?B).

定理2設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,α,β∈[0,1],則

(1)(MP規則)若τ(A)≥α,τ(A→B)≥β,則τ(B)≥α+β-1.

(2)(HS規則)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,則τ(A→C)≥α+β-1.

(3)(交推理規則)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,則τ(A→(B∧C))≥α+β-1.

證明(1)由定理1(5)知τ(A→B)≤τ(A∧B)-τ(A)+1≤τ(B)-τ(A)+1,即τ(B)≥τ(A)+τ(A→B)-1.

(2)因為├(B→C)→((A→B)→(A→C)),則τ((B→C)→((A→B)→(A→C)))=1.由τ(B→C)≥β,利用(1)得τ((A→B)→(A→C))≥1+β-1=β；再利用(1)及τ(A→B)≥α可得結論.

(3)由A→(B∧C)≈(A→B)∧(A→C)及定理1(3)可得τ(A→B∧C)=τ((A→B)∧(A→C))≥τ(A→B)+τ(A→C)-1≥α+β-1.

命題4設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)τ(A∨B→B∨C)≥τ(A→B)∨τ(A→C).

(2)τ(A∧B→B∧C)≥τ(A→B)∨τ(B→C).

(3)τ((B→C)→(A→C))≥τ(A→B)∨τ(A→C).

3 公式間的隨機相似度及偽距離

利用公式的隨機真度可以在邏輯系統L*中給出公式間的隨機相似度和偽距離.

定義5設A,B∈F(S),R為賦值密度函數序列,則稱

(1)ξ1(A,B)=τ((A→B)∧(B→A))為公式A與B之間的第一種隨機相似度；

(2)ξ2(A,B)=τ(A→B)∧τ(B→A)為公式A與B之間的第二種隨機相似度；

(3)ξ3(A,B)=(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))為公式A與B之間的第三種隨機相似度.

定理3設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)ξk(A,A)=1,ξk(A,B)=ξk(B,A),k=1,2,3.

(2)ξk(A,C)≥ξk(A,B)+ξk(B,C)-1,k=1,2,3.

(3)ξ1(A,B)≤ξ2(A,B)≤ξ3(A,B).

證明(1)顯然.

(2)(i)注意到ξ1(A，B)=τ((A→B)∧(B→A))=τ(A→B)+τ(B→A)-τ((A→B)∨(B→A))=τ(A→B)+τ(B→A)-1.利用定理2(2)得

ξ1(A,C)=τ(A→B)+τ(B→A)-1
≥(τ(A→B)+τ(B→C)-1)+(τ(C→B)+τ(B→A)-1)-1
=(τ(A→B)+τ(B→A)-1)+(τ(B→C)+τ(C→B)-1)-1
=ξ1(A,B)+ξ1(B,C)-1.

(ii)令a⊙b=(a+b-1)∨0,a,b∈[0,1],由剩余格[4]的性質可知(a∧b)⊙(b∧d)≤(a⊙b)∧(c⊙d),a,b,c,d∈[0,1],則

ξ2(A,C)=τ(A→C)∧τ(C→A)
≥((τ(A→B)+τ(B→C)-1)∨0)∧((τ(C→B)+τ(B→A)-1)∨0)
=(τ(A→B)⊙τ(B→C))∧(τ(B→A)⊙τ(C→B))
≥(τ(A→B)∧τ(B→A))⊙(τ(B→C)∧τ(C→B))
≥ξ2(A,B)+ξ2(B,C)-1.

(iii)由引理1(2)知τ(A)→τ(C)≥(τ(A)→τ(B))?(τ(B)→τ(C))及τ(C)→τ(A)≥(τ(C)→τ(B))?(τ(B)→τ(A)),利用算子?與⊙的大小關系[5],即a?b≥a⊙b,a,b∈[0,1],可得

ξ3(A,B)=(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))

≥((τ(A)→τ(B))?(τ(B)→τ(C)))∧((τ(C)→τ(B))?(τ(B)→τ(A)))

=((τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A)))?((τ(B)→τ(C))∧(τ(C)→τ(B)))

=ξ3(A,B)?ξ3(B,C)

≥ξ3(A,B)⊙ξ3(B,C)

≥ξ3(A,B)+ξ3(B,C)-1.

(3)因為(a→b)∧(b→a)≤a→b,a,b∈[0,1],所以ξ1(A,B)≤τ(A→B)且ξ1(A,B)≤τ(B→A),從而ξ1(A,B)≤min{τ(A→B),τ(B→A)}=τ(A→B)∧τ(B→A)=ξ2(A,B).又由定理1(6)知ξ2(A,B)≤(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))=ξ3(A,B).

定義6設A,B∈F(S),R為賦值密度函數序列,規定：ρk(A,B)=1-ξk(A,B),k=1,2,3,則ρk是F(S)上的偽距離,稱(F(S),ρk)(k=1,2,3)為隨機邏輯度量空間.

命題5設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)ρk(A,A)=0,0≤ρk(A,B)≤1,ρk(A,B)=ρk(B,A),k=1,2,3.

(2)ρk(A,C)≤ρk(A,B)+ρk(B,C),k=1,2,3.

(3)ρ1(A,B)≥ρ2(A,B)≥ρ3(A,B).

(4)ρ1(A,B)=2-τ(A→B)-τ(B→A).

(6)ρ3(A,B)=2-τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|.

定理4設A,B∈F(S),R為賦值密度函數序列,則ρk(A,B)=ρk(A,B),k=1,2,3.

證明(i)ρ1(A,B)=2-τ(A→B)-τ(B→A)=2-τ(B→A)-τ(A→B)=ρ1(A,B).

(ii)由命題5(5)得ρ2(A,B)A,

(iii)ρ3(A,B)=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|=ρ3(A,B).

引理2設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則ρk(A∨C,B∨C)≤ρk(A,B),k=1,2.

證明(i)由命題5(4)得

ρ1(A∨C,B∨C)=2-τ(A∨C→B∨C)-τ(B∨C→A∨C)
=2-τ((A→B∨C)∧(C→B∨C))-τ((B→A∨C)∧(C→A∨C))
=2-τ(A→B∨C)-τ(B→A∨C)
=2-τ((A→B)∨(A→C))-τ((B→A)∧(B→C))
≤2-τ(A→B)-τ(B→A)=ρ1(A,B).

(ii)類似于(i)的推導步驟,

ρ2(A∨C,B∨C)=1-τ(A∨C→B∨C)∧τ(B∨C→A∨C)
=1-τ((A→B)∨(A→C))∧τ((B→A)∨(B→C))
≤1-τ(A→B)∧τ(B→A)=ρ2(A,B).

引理3設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則ρk(A→C,B→C)≤ρk(A,B),k=1,2.

證明僅證明ρ1的情形,ρ2的結論類似可得.

ρ1(A→C,B→C)=2-τ((A→C)→(B→C))-τ((B→C)→(A→C))
=2-τ(B→((A→C)→C))-τ(A→((B→C)→C))
≤2-τ(B→(A∨C))-τ(A→(B∨C))
≤2-τ(B→A)-τ(A→B)=ρ1(A,B).

引理4設A,B,C∈F(S),R為賦值密度函數序列,則ρk(C→A,C→B)≤ρk(A,B),k=1,2.

證明由引理3及定理4得ρk(C→A,C→B)=ρk(A→C,B→C)≤ρk(A,B)=ρk(A,B).

定理5設A,B,C,D∈F(S),R為賦值密度函數序列,則

(1)ρk(A∨C,B∨D)≤ρk(A,B)+ρk(C,D),k=1,2.

(2)ρk(A→C,B→D)≤ρk(A,B)+ρk(C,D),k=1,2.