H-矩陣的預條件AOR迭代法

周 婷， 郭文彬， 崔 燕

(1.衡水學院 數學與計算機學院 河北 衡水 053000；2.聊城大學 數學科學學院 山東 聊城 252059；3.南京理工大學 計算機科學與技術學院 江蘇 南京 210094)

0 引言

研究線性方程組

Ax=b,

(1)

其中A是一個n階實矩陣,x和b是n維實向量.不失一般性,令A=I-L-U,其中I是單位矩陣,-L和-U分別是A的嚴格下三角和嚴格上三角矩陣.w和r是實參數,w≠0,那么基本的AOR迭代法的迭代矩陣[1]為

Tr,w=(I-rL)-1[(1-w)I+(w-r)L+wU],

(2)

眾所周知,當參數w和r取特定的值時,可得到SOR,Gauss-Seidel,JOR和Jacobi迭代法.當P是非奇異矩陣時，把線性方程組(1)轉化為等價的預條件形式為

PAx=Pb.

(3)

本文給出兩類新的預條件矩陣Pα=I+Sα和Pβ=I+Sβ,這里,

定義1[15]設A=(aij)∈Rn×n.若對?i≠j有aij≤0,稱A為Z-矩陣; 若A=sI-B,B≥0，且s>ρ(B),其中ρ(B)表示矩陣B的譜半徑,則稱A為非奇異M-矩陣; 如果對?i,j滿足aij≥0(aij>0),則稱A為非負矩陣(正矩陣),記為A≥0(A>0).類似的可定義非負(正)向量.

引理1[16]設A是Z-矩陣,A是M-矩陣當且僅當存在向量u=(u1,…,un)T>0使得Au>0.

引理2[3]令A是一個H-矩陣,如果0≤r≤w≤1,w≠0,則ρ(Tr,w)<1.

1 主要結論

考慮預條件矩陣Pα=I+Sα,令Aα=(I+Sα)A=Dα-Lα-Uα,其中Dα，-Lα,-Uα分別是Aα的對角、嚴格下三角和嚴格上三角部分，則對應的預條件AOR迭代法的迭代矩陣為

(4)

類似的,考慮預條件矩陣Pβ=I+Sβ.令Aβ=(I+Sβ)A=Dβ-Lβ-Uβ,其中Dβ,-Lβ,-Uβ分別是Aβ的對角、嚴格下三角和嚴格上三角部分.則對應的預條件AOR迭代法的迭代矩陣為

(5)

>0.

證明令(〈Aα〉u)i是向量〈Aα〉u的第i個元素.則有

(6)

(7)

當0≤αi≤1(i=1,…,n-1)時,有

>0.

(8)

>0.

(9)

>0.

證明令(〈Aβ〉v)i是向量〈Aβ〉v的第i個元素.則有

(10)

(11)

當0≤βi≤1(i=2,…,n)時,有

>0.

(12)

>0.

(13)

2 數值例子

考慮線性方程組(1)的系數矩陣A[13],這里，

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