一類高階非線性發展方程解的爆破

王艷萍

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

0 引言

本文討論高階非線性發展方程的初邊值問題：

utt-uxx-uxxtt+αux4+βux4t2=f(u)xx,0

(1)

u(0,t)=u(1,t)=uxx(0,t)=uxx(1,t)=0,0≤t

(2)

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=φ(x),0≤x≤1,

(3)

其中，u(x,t)是關于變量x和t的未知函數,α>0,β>0是物理常數,f(x)是已知的非線性函數，φ(x)和φ(x)是已知的初始函數.

在晶格動力學和水波的研究中都提出了模型方程[1]

utt-uxx-uxxtt+αux4+βux4t2=γ(u2)xx,

(4)

其中，α>0,β>0和γ≠0是常數.顯然方程(1)是方程(4)的廣義形式，這種方程也被稱為Boussinesq型方程(簡稱Bq方程).關于Bq方程的孤立子波解和行波解的研究，已經有大量的結果[2-5].文獻[6]研究了方程(4)初邊值問題,給出了問題局部解的存在性和唯一性，并討論了解的爆破性質；文獻[7]對方程(1)的初值問題進行了討論，給出了問題整體解的存在性和唯一性，并給出了解爆破的充分條件.本文對方程(1)的初邊值問題進行研究，首先證明問題(1)～(3)的局部廣義解的存在性與唯一性，然后利用凸性方法證明問題解的爆破.

文中分別用‖·‖和‖·‖Hm表示L2(0,1)和Sobobev 空間Hm(0,1)中的范數,有時也記Ω=(0,1).

1 局部解和解的爆破

用Galerkin方法和緊性原理可以證明關于方程(1)～(3)的解的存在性定理.

u(x,t)∈C([0,T0);H4(0,1))∩C1([0,T0);H4(0,1))∩C2([0,T0);H4(0,1))，

其中,T0是解的最大存在區間.

為了討論問題解的爆破,首先給出引理1和引理2.

引理1(Jensen不等式)設G(x)定義在(a,b)上,G(x)∈[a1,b1]其中,a,b,a1,b1是有限數或∞,F(x)是(a1,b1)上的連續的凸函數,Q(x)∈L1[a,b],且Q(x)≥0,則有

在右端有限時成立.

下面討論問題(1)～(3)解的爆破性質.

定理2設u(x,t)是問題(1)～(3)的廣義解,且

其中,y(x)表示特征問題.

y″+λy=0,y(0)=y(1)=0,0

(a)f(s)∈C2(R)是偶的凸函數,且滿足f(0)=0.f(ρ)-(1+αμ)ρ≥0;

(b)當s→+∞時，f(s)增長得足夠快， 使得積分

(5)

注意到ω(x)及u(x,t)所滿足的邊界條件,利用分部積分可得

(6)

(7)

(8)

把(6)～(8)式代入(5)可以得到

(9)

利用Jensen不等式,注意到關于f的假定，可知

(10)

由(9)和(10)式得

(11)

由于

特別地，f0(s)在[ρ,+∞)上單增，且f0(s)≥f0(ρ)≥0，因而對?s≥ρ,f(s)-(1+αμ)s≥0.記

由于z(t)>0,從而

定理證畢.

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