高中數學中的抱圓守一

摘 要 本文通過具體例題，揭示了高中數學教學中存在的相似問題同種解法、相同問題不同解法現象。并提出對以上問題的解決途徑——“抱圓守一”，即追尋問題的本質，掌握其根本方法。

關鍵詞 抱圓守一 變式發散 類比發散 圓錐曲線 數列

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

Keep a Hold Round in High School Mathematics

MA Bin

iangsu Zhenjiang No.1 Senior School， Zhenjiang， Jiangsu 212003)

Abstract In this paper， through specific examples， teaching high school mathematics reveals similar problems exist in the same solution， same problem different solution behavior. And to propose ways to solve the above problems - \"keep a hold round\"， that is to pursue the essence of the problem， master the basic method.

Key words keep a hold round; variant divergence; analog divergence; conic; series

“抱圓”指在具體題目與知識點之間建立聯系的基礎上進行發散，進而達到圓滿之境界。其中的發散既可以是題目的變式發散，也可以是知識點的類比發散。“守一”指在上述的發散思維過程中，我們應注意其中的基礎知識點，基本方法，在變化中探尋其中不變的東西，固守其中的根本。

1 相似問題要“抱圓”，相同方法要“守一”

在高中解析幾何圓錐曲線的幾何性質部分，有如下例題：

例1 （1）已知點(2， )，設是橢圓 + = 1的右焦點，在橢圓上求一點，使|| + 2||最小。

（2）已知點(9，2)，設是雙曲線 - = 1的右焦點，在雙曲線上求一點，使|| + ||最小。

（3）已知點(2， )，設是拋物線 = 的焦點，在拋物線上求一點，使|| + ||最小。

圖1-1 圖1-2 圖1-3

如圖1，例1三個小題分別是尋求三種圓錐曲線上的點到定點距離與到焦點距離的線性和最小值的問題。究其本源來自于初中數學的一個簡單結論1：若在直線的異側，則連結交于，是上所有點中，使 + 取最小值的點。

根據上述結論，由于點與位于圓錐曲線同側，故考慮將其中之一轉化到曲線異側。由圓錐曲線幾何性質 = ，可將轉換為點到準線距離（拋物線中 = ）從而變為考慮曲線異側的兩元素最短距離，易知過A作準線的垂線，與圓錐曲線的交點即為所求點。與之類似的還有如下問題：

例2 已知點(2， )，設是橢圓 + = 1的右焦點，是橢圓上的點，求|| + ||的范圍。

例2與例1的區別在于缺少了，不能將到焦點距離轉換成到準線距離，無法用例1的方法將兩元素轉換到曲線的異側。解決本題的根源仍來自于初中的結論2:如圖2，若在直線的同側，則連結并延長交于，是上所有點中，使 - 取最大值的點。

圖2 圖3

解：∵|| + || = || + 2a - || = 8 + || - ||

由結論2易知- || ≤ || - || ≤ ||

∴8 - ≤|| + ||≤8 +

2 相似方法要“抱圓”，相同問題要“守一”

例3 已知數列{}，{}為等差數列，其前項和分別為， ，若 = ，求（1），（2）

解：題（1）是一條經典題型，其常用的解法有

方法一： = = = = = ，

方法二：由 = ( + 1)得 = = =

以上兩種方法將等差數列性質與前項和公式，通項公式有機結合，技巧性、綜合性強，但不可避免得對等差數列前項和公式的本質揭示不夠。于是在原題基礎上產生了（2）的變形形式，雖然只有下標的略微改變，但上述方法只能望而卻步。采用更本質的方法：

（2）方法三：設 = ( + 1)， = (3 - 2)（為常數），則 = =

方法三對（1）同樣適用。

雖然數學問題紛繁復雜，晦澀難懂，但解決問題的本源知識與方法卻是簡單固定的。“抱圓”“守一”是相對的，是相輔相成的，教學過程中既要注重知識的“抱圓”聯系，也要注重揭示方法的“守一”不變，于此知識就能融會貫通，水到渠成，數學才能教得“圓滿”。

參考文獻

[1] 黃厚忠.初高中銜接教程.東南大學出版社，2008.7.20.

[2] 徐有標.數學思想方法教學實驗研究.教育科學研究，1994.4.1.

[3] 趙玉峰.一題多解與多題一法.山東教育學院學報，1996.4.1.