解題后的反思

當前我國的數學教學改革的一個重點就是要求教師變傳統“知識遺傳型”教學為探索型教學和發展型教學，培養學生的創新精神，而解題后的反思正是培養學生這種能力的有效方法之一.下面談談我在教學過程中在這一方面的一些做法和體會．

一、培養學生養成反思的習慣

簡單地說，反思即解題后的思考，是對題目涉及的知識的內在聯系的思考和研究，是對與解題相關的思維方法和技巧的總結和拓寬．我們的許多學生在解數學題時，往往是解完一道題就算大功告成了，而不再去思考自己是怎樣去做這道題的，主要用了哪些知識點，用了哪些數學方法，這些知識點和方法與其他題目的知識有何內在的聯系．這對學生掌握知識和培養學生的創新能力是極為不利的.因此解完一道題后，學生應該主動并及時反思一下解題過程，總結一下經驗，同時，教師在平時的教學中，也應適當啟發和引導學生解題后反思，尤其是教師在講每一個例題的時候，不能就題論題、講完了事，而是在講完例題后讓學生反思，使學生逐步養成解題后反思的習慣．

二、通過反思培養學生的創新精神

1.拓展學生思維的廣度

課本的習題是經過編寫者反復琢磨、認真篩選后精心設置的，具有一定的典型性、示范性、可塑性，我們在做題時，應該多注意反思，并探索多解.通過這樣反思，既可以發揮習題的潛能，又可以培養學生的探究能力和創新精神．

【例1】 已知ad≠bc，求證：(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2. ①

學生大都采用下列證法：

證法1：（作差比較法）由ad≠bc，知(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2＞0，即①式成立．

此外一般方法還有:證法2（分析法）；證法3（反證法）.

反思：除了這三種基本的證法外，還有別的證法嗎?通過這樣提問，能激起學生思維的波瀾，再積極思考、認真推證，又有證法4（三角換元法）：

設a=mcosα，c=ncosβ，b=msinα，d=nsinβ，

從而(ac+bd)2=m2n2cos2(α-β)≤m2n2=(a2+b2)#8226;(c2+d2).

再反思：如果把題目變形如下：

(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)＜0，觀察此式，你聯想到什么？上式乘以4，與一元二次方程的根的判別式比較，可創造性地得出證法5（構造函數法）：

設f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)，則由ad≠bc知a2+b2＞0，由f(x)＞0恒成立，立即可證①式.

若再變形：由上知a2+b2＞0，將①式化為

｜ac+bd｜a2+b2＜c2+d2.②

類比點到直線的距離公式，又可探究出下列富有創新精神的證法6（構造直線法）:

如圖1，設L:ax+by=ac+bd，點P(c，d)∈L，｜OQ｜是原點到L的距離，則｜OQ｜＜｜OP｜，

所以②式成立，即①式成立.

2.反思試題本身，拓寬引申，提高解題思維能力的多樣性

反思試題本身就是對試題做某些研究和改造工作，對原題的條件進行變換或對原題的所求進行拓寬引申，設計出新題并求解，這樣，即有助于學生全面認識知識點間的相互聯系，又有利于學生創新能力的培養．

【例2】 如圖2，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個內接矩形ABCD并將其辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點B、C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為R，如何選擇關于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？

反思：若把上述半圓改為扇形，那么這類問題又如何去解決呢？

【例3】 如圖3，已知半徑為R、圓心角為60°的扇形OMN，求一邊在半徑OM上的扇形內接矩形ABCD的最大面積．

解：連結OC，設∠DOC=θ，

3.反思特例，總結一般規律

數學中有很多問題的解法對解決一般問題有普遍的意義，但并不是淺顯地將一般問題的解答信息反映出來，這需要我們對問題的解法進行認真反思、分析和歸納，并總結出規律，從而解答一般問題．

【例4】 化簡cos80°#8226;cos40°#8226;cos20°.

學生對原題的解法反思、歸納后，總結出其解題規律是：先作乘除變形，再將分子用倍角公式遞推化簡，從而達到將整個式子化簡的目的，由此可順利地完成新題目的解答．如求證：

總之，解完一道題目后，教師應該積極地引導學生進行反思，這樣，不但有利于深化學生對數學知識的認識，促進學生的思維能力的發展，還能充分發揮學生的智能與潛能．

參考文獻

［1］數學創造性思維及其培養初探［J］.中學數學教與學.2002（1）.

［2］數學教學中培養學生創新思維的嘗試［J］.中學教研（數學）.2002(1).

（責任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文