我談角的變換

三角中，角的變換常稱為角的代換與配湊，常見代換形式有如下幾種：

① α ＝ （α － β） ＋ β ＝ （α ＋ β） － β；

② α =+=－ ；

③ ２α ＝ （α ＋ β） ＋ （α － β）；

④ ２β ＝ （α ＋ β） － （α － β）；

⑤= （α - ） - （ - β）；

⑥= （α + ） - （ + β）；

⑦ （α － β） ＝ （α － γ） ＋ （γ － β） ；

⑧＋ α ＝－ （ － α）．

換一種歸納方式，在具體題型的運用中主要為兩類：一類是“給兩值求一值”或是“給兩值求一角”，角的變換規(guī)律常

為“所求角＝已知角±已知角” ，如上述的①、②、③、④、⑤、⑥、⑦等；另一類是“給一值求一值” 或是“給一值求一角”，角的變換規(guī)律常為所求角與已知角互余、互補或與已知角成倍角、半角等，如上述的⑧等.

１． 給兩值求一值

例 １ 設cos（α - ） = -，sin（ - β） = ，其中α∈（，π），β∈（0，），求cos（），cos（α + β）．

解析 ∵ α∈（，π），β∈（0，）， ∴ （α - ） ∈ （，π），（ - β）∈（-，）．

∴ ｓｉｎ（α － ） ＝＝＝ ，ｃｏｓ（α － ） ＝＝＝ ．

∴ ｃｏｓ（） ＝ ｃｏｓ（α － ） － （ － β） ＝ ｃｏｓ（α － ）ｃｏｓ（ － β） ＋ ｓｉｎ（α － ）ｓｉｎ（ － β） ＝ － ×＋×＝ .

ｃｏｓ（α ＋ β） ＝ ２ｃｏｓ２ － １ ＝ ２（）２ － １ ＝ －．

說明 已知條件為兩值，所求為一值. 第一問所求角＝已知角±已知角，第二問所求角為第一問所求角的倍角.

２． 給兩值求一角

例２ 已知ｔａｎ（α － β） = ，tan β = -且α，β∈（０，π），求2α － β的值.

解析 ∵ ｔａｎ（α － β） = ，

∴ tan２（α － β） = = .

又 ∵ 2α － β = 2（α － β） + β，且tan β = -，

∴ taｎ（２α － β ） ＝＝ １．

∵ α，β∈（０，π）且tan β = - < 0，

∴ ｔａｎ α ＝ ＝ ∈（０，１），

∴ 0 < α < ， < β < π，

∴ 0 < 2α < ，-π < - β < -，∴ -π < 2α - β < 0．

而在（－π，０）內使正切值為１的角只有一個-，

∴ 2α - β = -．

說明 已知條件為兩值，所求為一角. 所求角＝已知角±已知角．

３． 給一值求一值

（１）“暗渡陳倉”型

例３ 已知cos（x - ） = ，x∈（，），求sin x的值．

解析 ∵ x∈（，），∴ x - ∈（，），

∴ sin（x - ） == ．

∴ ｓｉｎ ｘ ＝ ｓｉｎ（ｘ － ） ＋＝ ｓｉｎ（ｘ － ）ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ（ｘ － ）ｓｉｎ =×+×= ．

說明 所求角＝已知角±已知角是“給兩值求一值”類型，但本題“給一值求一值”巧妙轉身為“給兩值求一值”，即

所求角＝已知角±特殊角，收到意想不到的效果．

（２）互余、互補型

例４ 已知cos（ + α） = ，且-π < α < -，則cos( - α)等于.

A． B． C． -D． -

解析 ∵ （ + α） + （ -α） = ，

∴ cos（ - α） = cos - （ + α） = sin（ + α），

又-π < α < -，∴ - < （ + α） < -，

∴ sin（ + α） = - ，即cos（ - α） = -．

說明 已知條件為一值，所求為一值. 所求角與已知角互余．

例５ 已知sin（ - α） = ，則cos（ + 2α）等于.

A． -B． -C． D．

解析 cos（ + 2α） = cosπ - （ - 2α） = -cos（ -2α） = -cos2 （ - α） = -1 - 2sin2（ - α） = -，故選A．

說明 已知條件為一值，所求為一值. 所求角 （ + 2α）與已知角 （ - α）的倍角互補．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文