初中數學競賽中的求和技巧

在初中的數學競賽中，常見一類關于代數式求和的問題，求解此類問題時，常常需要一定的技巧方法，哪些方法最為常見呢？一般地，主要有兩種方法：倒序求和法與裂項相消法，下面我們用幾個例題與大家一起探討學習這兩種求和方法.

１. 倒序求和法

如果所求和式具有到首尾距離相等的兩項之和有其共性，那么常可考慮選用倒序求和的方法. 解題時應該先觀察式子的結構特征，尋找式子部分結構所具有的共同點，一般情況下我們要研究式子的通項公式，由通項公式的性質確定解題方法.

例１ 計算： ++ … ++ … + .

分析 首先觀察式子的結構，研究式子的通項，進而根據通項的特征選擇適用的求和方法.

解 ∵+== 2，即到中間距離相等的兩項之和為２，共有４９．５組，∴原式 = 49.5 × 2 = 99.

例２ 已知ｆ（ｘ） = ，求下式的值：ｆ（） + ｆ（） ＋ … ＋ ｆ（） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（２） ＋ … ＋ ｆ（２０１０） ＋ ｆ（２０１１）

分析 式子的結構有到中間距離相等的項的自變量互為倒數，考慮研究ｆ（） + ｆ（ｘ）的值.

解 ∵ ｆ（） + ｆ（ｘ） =+= 1，即到中間距離相等的兩項之和為１，共有２０１１．５組，∴原式 = 2011.5 × 1 = 2011.5 .

例３ 已知ｆ（ｘ） ＋ ｆ（１ － ｘ） = 2，求下式的值：ｆ（２０１０） ＋ ｆ（２００９） ＋ … ＋ ｆ（２） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＋ ｆ（－１） ＋ ｆ（－２） ＋ … ＋ ｆ（－２００９）.

分析 式子的結構特征為：當自變量之和為１，則函數值之和為２，所以考慮把自變量之和為１的兩個數相加，得到相應的函數值.

解 ∵ ｆ（ｘ） ＋ ｆ（１ － ｘ）＝２，

∴ｆ（２０１０） ＋ ｆ（－２００９） ＝ ２，ｆ（２００９） ＋ ｆ（－２００８） ＝ ２，…，ｆ（２） ＋ ｆ（－１） ＝ ２，ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＝ ２，這樣的數共有２０１０組，∴原式 ＝ ２０１０ × ２ ＝ ４０２０．

２. 裂項相消法

如果所求和式中的項具有的結構，解題時，我們可以把化為（）（ - ），從而實現裂項相消，因此求解此類問題，我們常常可以考慮采用選用裂項相消的方法. 這是一類具有典型結構的求和方法，解題時一定要注意觀察結構.

例４ 方程 +++=- 的解為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

分析 注意到方程左邊每個分式的分母中兩個一次因式的差均為常數３，故可考慮把一個分式拆成兩個分式之差的形式，用拆項相消進行化簡．

解 左邊 = （ - ） + （ - ） +

（ - ） + （ - ） = （ - ），∴（ - ） =- ，∴ x = -3.

例５ A = 48×（ ++ … + ），則與A最接近的正整數是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

分析 先研究式子的通項，即，發現可以進行裂項相消，從而進行化簡求值.

解 ∵== （ - ），

∴ A = 48 × ［ × （ - ） + ×（ - ） +× （ - ） + … +× （ - ） ＋× （ － ）］

∴ Ａ ＝ ２４ × （ ＋＋ … －－ ） = 20 -- ，所以與A最接近的正整數是２０．

例６ 設直線ｎｘ ＋ （ｎ ＋ １）ｙ ＝ （n為自然數）與兩坐標軸圍成的三角形面積為Ｓｎ（ｎ ＝ １，２，３，…，２０１１），則Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ … ＋ Ｓ２０１１的值為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

分析 先求解直線與兩坐標軸的交點，再求解三角形的面積Sn，根據Sn的特征選擇裂項相消化簡求值.

解 直線ｎｘ ＋ （ｎ ＋ １）ｙ ＝ 與兩坐標軸的交點分別為（，０），（０，），所以圍成的三角形面積為，Ｓｎ ＝#8226; ＝＝－ ，

∴ Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ … ＋ Ｓ２０１１ ＝ （１ － ） ＋ （ － ） ＋ （ － ）＋ … ＋ （ － ） ＝ .

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