利用圖形直觀 滲透數學思想

數學思想是解決數學問題的有力武器，數學思想的不斷強化，逐步固定為一種數學觀念，從而提高學生的數學素養，為學生將來觀察問題、分析問題、解決問題提供數學的思維，即用數學. 作為小學生，還不懂得什么叫做數學思想，但是，小學中高年級的學生，在解決數學問題的時候，偶爾也會不自覺地運用著各種數學思想. 如何讓數學思想在小學生中形成雛形，這是擺在各位數學老師面前的課題. 俗話說：“根深則葉茂. ”只有枝繁葉茂，方能春華秋實.

小學生抽象思維能力弱，形象思維能力較強. 因此，利用識圖教育來培養小學生的數學思想是一個良好的契機. 下面從具體問題入手，談談問題中蘊含的數學思想.

問題一 如圖１，已知線段ＡE上有Ｂ，Ｃ，Ｄ三點，問：圖中共有幾條線段？

分析 該題中蘊含著組合思想，即圖中線段的總條數等于在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五點中任取兩點的組合數C. 給小學生講解時，不可能談組合思想，更不可能談組合數計算. 我們可以根據直觀圖形，從Ａ點開始依次向右數線段，Ａ點有４條，Ｂ點有３條，Ｃ點有２條，Ｄ點有１條，Ｅ點有０條，再求和：４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＋ ０ ＝ １０（條）. 這樣計數，從中體現了加法原理. 再換一種算法，從Ａ點開始向左、右兩個方向數線段，這樣每個點都與其他４點構成４條線段，共有５個點，即得４ × ５ ＝ ２０，但必須注意到這種算法每１條線段被數成了２條，所以圖中線段的總條數只有２０的一半，即２０ ÷ ２ ＝ １０（條）. 這種算法同時也體現了乘法原理.

類似的問題還可以深化，例如：

問題二 如圖２，問：圖中共有多少個角？

問題三 如圖３，問：圖中共有多少個長方形？

問題四 如圖４，問：圖中共有多少個三角形？

問題五 如圖５，問：圖中共有多少個角（小于平角的角）？

這種形式上的改編，不但可以讓類比思想在小學生頭腦中生根，更可以讓小學生感受到數學之美.

問題六 如圖６，一只螞蟻沿長方形格的邊線從Ａ點爬行至Ｈ點，問：最短的線路有幾條？

分析 該題蘊含著運籌思想，同時體現出加法原理. 螞蟻從Ａ點分別爬行至Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ點的最短路線都是１條，因此從Ａ→Ｐ的最短路線是Ａ→Ｂ→Ｐ和Ａ→Ｄ→Ｐ，即１ ＋ １ ＝ ２（條）. 于是從Ａ→Ｆ最短路線是Ａ→Ｅ→Ｆ和Ａ→Ｐ→Ｆ，即１ ＋ ２ ＝ ３（條）. 同理，Ａ→Ｇ的最短路線也有３條. 因此從Ａ→Ｈ的最短路線分別是Ａ→Ｇ→Ｈ和Ａ→Ｆ→Ｈ，故為 ３ ＋ ３ ＝ ６（條）. 所以，從Ａ→Ｈ的最短路線有６條.

問題七 如圖７，問：圖中共有多少個平行四邊形？

分析 該題體現的是乘法原理，ＡＨ邊上有３個點，根據問題三，有１０“層”平行四邊形，在ＡＤ邊上有２個點，同樣結合問題三，每“層”的平行四邊形個數為３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６. 于是平行四邊形的總個數為６ × １０ ＝ ６０（個）.

如果將問題六、七綜合起來，可得：

問題八 如圖８，一只螞蟻沿長方形格邊線和ＢＣ線段從Ａ點爬行至Ｄ點，問：最短的路線有幾條？

這樣的拓寬引申，問題中既蘊含了加法原理又蘊含了乘法原理. 由問題六可知，從Ａ→Ｂ最短路線有６條，Ｂ→Ｃ最短路線有１條，因此從Ａ→Ｃ最短路線有６ × １ ＝ ６（條），而Ｃ→Ｄ的最短路線有６條（同問題六），所以，Ａ→Ｄ最短路線為６ × ６＝ ３６（條）. 這樣的逐步加深，同時也有利于學生弄清加法原理和乘法原理的區別.

問題九 如圖９，問：圖中共有多少個三角形？

將以上出現的數學思想方法融合起來，解決問題九便是一件容易的事，否則，很難正確解答. 首先，解決圖１０中的三角形個數. 運用分類思想，按照三角形“大小”分類，△ABC級僅１個，△ABE級６個，△ABP級３個，△ADP級６個，共１６個. 其次，運用類比思想，圖９中△DEF里的三角形個數與圖１０一樣多，也是１６個. 再次，從圖１０到圖９增加了三條線段ＤＥ，ＥＦ，ＦＤ，每增加一條線段，帶來沒有計數過的三角形５個，如線DE段，帶來的三角形是△BDE中的３個及△DEA和△DEC，故又增加３ × ５ ＝ １５（個）. 于是得到圖９中三角形個數為１６ ＋ １６ ＋ １５ ＝ ４７（個）.

加法原理又名分類計數原理，乘法原理又名分步計數原理，一字之差，揭示出加法與乘法的本質. 分類思想，類比思想都是常見的數學思想，利用圖形直觀及早在小學生中滲透，對學生數學修養的提高有一定的益處.

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