“數(shù)形結(jié)合”就是妙

【摘要】 數(shù)形結(jié)合，主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的兩個(gè)研究對(duì)象，它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，一方面各自獨(dú)立存在于自己的領(lǐng)域，另一方面兩者又完美地結(jié)合在一起，在宇宙空間釋放著關(guān)于空間形式與數(shù)量關(guān)系的無(wú)窮無(wú)盡的能量. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離”. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. “數(shù)形結(jié)合”對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一種教學(xué)方法、教學(xué)策略；對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)則是一種形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和思想的重要的學(xué)習(xí)方法.

一、數(shù)形結(jié)合，激發(fā)興趣

俗話說(shuō)“興趣是最好的老師”，興趣是一種帶有強(qiáng)烈情感色彩的欲望和意向，是形成創(chuàng)新動(dòng)力的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 心理學(xué)研究表明，興趣是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，創(chuàng)新與興趣是緊密聯(lián)系在一起的. 只有當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)感興趣后，學(xué)生才能自主地、自覺(jué)地去觀察、研究和探索.

案例1 《雞兔同籠》

“雞兔同籠，有１０個(gè)頭，３４條腿. 雞、兔各有多少只？”.

這個(gè)內(nèi)容過(guò)去是奧賽的題材，現(xiàn)在安排在新教材五年級(jí)中，對(duì)于五年級(jí)的全體學(xué)生如何理解“雞兔同籠”問(wèn)題呢？教師設(shè)計(jì)了一個(gè)基本的方法——畫(huà)圖法.

先畫(huà)１０個(gè)圓表示１０個(gè)頭，

假設(shè)籠子里都是雞，每只雞有２條腿，就用２根豎線表示. 一共畫(huà)了２０條腿，少了１４條腿.

把兔子看成雞，每只兔子少了兩條腿，再２條２條地畫(huà)上１４條.

這樣一眼看出有７只兔子，３只雞. 學(xué)生也不會(huì)因?yàn)轭}目的難度而失去學(xué)習(xí)的興趣. 在簡(jiǎn)單的畫(huà)的過(guò)程，他們對(duì)雞兔同籠中“幾個(gè)頭，幾條腿”有了一個(gè)最基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)，對(duì)這類(lèi)題目的第一感覺(jué)就是有趣. 如果我們的課堂能多給孩子一些有趣的感覺(jué)，相信我們的數(shù)學(xué)課堂會(huì)更精彩.

二、數(shù)形結(jié)合，理解算理

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問(wèn)題. 計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理. 算理就是計(jì)算方法的道理. 學(xué)生不明白道理又怎么能更好地掌握計(jì)算方法？在教學(xué)中教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然，知其所以然”. 數(shù)形結(jié)合是幫助小學(xué)生正確理解算理的一種很好的方式.

案例2 “兩位數(shù)乘兩位數(shù)”

在教學(xué)三年級(jí)下冊(cè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一內(nèi)容時(shí)我是把枯燥的計(jì)算教學(xué)課與圖形——“點(diǎn)子圖”聯(lián)系在一起，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，發(fā)散了學(xué)生的思維. 我將教材中的情境“一幢新樓共１２層，每層住１４戶人家. 這幢高樓一共能住幾戶人家？” 更改為“三年級(jí)同學(xué)排隊(duì)做操”的情境.

（我出示了一幅點(diǎn)子圖：）

師：從圖中你了解到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：三年級(jí)同學(xué)排成１２列縱隊(duì)做操，每列有１４人.

師：根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：三年級(jí)一共有幾人？

師：你能列式解答嗎？

生：１４ × １２.

生：１２ × １４.

師：１２ × １４或１４ × １２分別得多少？你能想辦法解決嗎？

學(xué)生利用手中的點(diǎn)子圖想出解決這道計(jì)算題的策略：

１２ × １４ ＝ １２ × ２ × ７ ＝ １６８（人）.

１２ × １４ ＝ １４ × ２ × ６ ＝ １６８（人）.

１２ × １４ ＝ １４ × ３ × ４ ＝ １６８（人）.

１４ × ２ ＝ ２８（人）.１４ × １０ ＝ １４０（人）.１４０ ＋ ２８ ＝ １６８（人）.

１２ × ４ ＝ ４８（人）.１２ × １０ ＝ １２０（人）.１２０ ＋ ４８ ＝ １６８（人）.

師：４８表示什么？在點(diǎn)子圖上指一指.

生：１２ × ４＝４８.

師：１２０表示什么？在點(diǎn)子圖上指一指.

生：１２ × １０ ＝ １２０.

師：１６８表示什么？在點(diǎn)子圖上指一指.

生：１２０ ＋ ４８ ＝ １６８.

教學(xué)中我利用點(diǎn)子圖激活學(xué)生的形象思維，透過(guò)數(shù)學(xué)潛在的“形”與“數(shù)”的關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，讓學(xué)生借助直觀來(lái)理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理，進(jìn)而為培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力打下良好的基礎(chǔ)，有效地實(shí)現(xiàn)原有知識(shí)與新知識(shí)之間的鏈接，激活學(xué)生的思維.

三、數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題

以“解決問(wèn)題”為核心的實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，更加注重從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與生活背景出發(fā)，給學(xué)生提供具有一定現(xiàn)實(shí)意義和趣味性的應(yīng)用題素材，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性和開(kāi)放性的問(wèn)題情境，使學(xué)生的求知欲和探索欲得到滿足. 數(shù)形結(jié)合解題，實(shí)際上是一個(gè)“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程，即把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形，將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對(duì)圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步轉(zhuǎn)化成算式，以達(dá)到問(wèn)題解決. 數(shù)形結(jié)合有時(shí)可以使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更有趣味.

案例3 唐彩斌執(zhí)教的“歸一應(yīng)用題”

１． 呈現(xiàn)數(shù)形素材，提出問(wèn)題計(jì)算.

右圖長(zhǎng)方形表示１２０，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？并請(qǐng)算一算.

學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后回答：

①陰影部分是多少？計(jì)算方法：１２０ ÷ ４ ＝ ３０.

②空白部分是多少？計(jì)算方法：１２０ ÷ ４ × ３ ＝ ９０.

教師與學(xué)生一起略作質(zhì)疑，為什么先想到“除以４”，再“乘３”.

２． 教師又呈現(xiàn)下面素材：

右圖中陰影部分是１８０，你又能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

學(xué)生獨(dú)立思考計(jì)算后回答：

①空白部分是多少？列式計(jì)算：１８０ ÷ ３ × ５ ＝ ３００.

②整個(gè)圖形（梯形）是多少？列式計(jì)算：１８０ ÷ ３ × ８ ＝ ４８０. 學(xué)生回答后，再讓學(xué)生把數(shù)據(jù)填入下表：

３． 教師又呈現(xiàn)下面素材：

下圖長(zhǎng)方形中淺色部分（單線條陰影部分）是６３，你又能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

學(xué)生同樣是經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后，反饋得出：

①深色部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ５ ＝ ４５；

②空白部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × 12 ＝ 108；

③整個(gè)長(zhǎng)方形是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ２４ ＝ ２１６；

④深色與淺色部分合起來(lái)是多少？６３ ÷ ７ × １２ ＝ １０８.

４． 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納以上素材的解答過(guò)程，使學(xué)生從中總結(jié)出：用除法先求出一小部分（即“單一量”），然后通過(guò)“一份量 × 份數(shù)”計(jì)算出所要求的問(wèn)題.

５． 揭示生活問(wèn)題，引發(fā)遷移求解.

師：以上我們通過(guò)圖形的份數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，提出了問(wèn)題計(jì)算，下面我們能否根據(jù)生活中的已知條件，提出問(wèn)題計(jì)算呢？（師出示）：某商場(chǎng)一種商品價(jià)格不變，現(xiàn)在知道要買(mǎi)４件這樣的商品要２００元. 你能聯(lián)想到求什么問(wèn)題嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，有如下的回答：

①如果要買(mǎi)６件這樣商品要多少錢(qián)？列式：２００ ÷ ４ × ６ ＝３００（元）.

②如果帶６００元錢(qián)能買(mǎi)幾件這樣的商品？６００ ÷ （２００ ÷ ４） ＝ １２（件）或６００ ÷ ２００ × ４ ＝ １２（件）.

……

再接著教師又提供了行程中的歸一問(wèn)題、工作生產(chǎn)中的歸一問(wèn)題等，學(xué)生積極地投入到思考解答中.

整堂課中唐彩斌老師通過(guò)數(shù)形結(jié)合用直觀的圖形來(lái)教學(xué)歸一問(wèn)題和歸總問(wèn)題，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、解題思路形象地外顯了，降低了思維的難度，學(xué)生易于理解.

總而言之，“數(shù)形結(jié)合”作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的. 對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)“不管他們將來(lái)從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生. ”在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要充分利用數(shù)形結(jié)合，增添學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動(dòng)思維的積極性，變抽象的問(wèn)題形象化，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)收到事半功倍的良好效果.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文