初中數學旋轉思想在解題中的應用策略

【摘要】 旋轉是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉知識進行有關計算或證明的題目很多，小到填空、選擇題，大到綜合、推理題. 尤其是題目中沒有涉及旋轉等文字，使不少學生在解答時無從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據題目特征加以觀察，通過旋轉，找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現采擷部分試題加以歸納，供參考.

【關鍵詞】 初中數學；旋轉思想；幾何解題

一、利用旋轉，解答角度計算問題

例１ 如圖１，Ｐ是正三角形ＡＢＣ內的一點，且ＰＡ ＝ ３，ＰＢ ＝ ４，ＰＣ ＝ ５. 求∠ＡＰＢ的度數.

解析 學生已有３，４，５數感的認識，以它們為三邊的三角形是直角三角形，但它們分散在△ＡＢＣ內，故解決問題的方法是先將分散的三邊集中到一個三角形中，思想是利用旋轉再研究這個三角形與所求問題的關系.

將△ＡＰＢ繞點Ａ逆時針旋轉６０°后，得到△ＡＤＣ，連接ＰＤ（如圖２），則ＡＤ ＝ ＡＰ ＝ ３，ＤＣ ＝ ＰＢ ＝ ４，∠ＰＡＤ ＝ ６０°.

∴△ＰＡＤ是等邊三角形，ＰＤ ＝ ＰＡ ＝ ３.

在△ＰＤＣ中，ＰＤ２ ＋ ＤＣ２ ＝ ３２ ＋ ４２ ＝ ５２，ＰＣ２ ＝ ５２，

∴∠ＰＤＣ ＝ ９０°，

∴∠ＡＰＢ ＝ ∠ＡＤＰ ＋ ∠ＰＤＣ ＝ ６０° ＋ ９０°＝ １５０°.

當條件比較分散時，可通過旋轉變換把分散的條件集中在一個三角形，其中旋轉的角度是構圖的關鍵．通常把圖形旋轉到特定的位置或是特殊的角度，當三角形繞某一頂點旋轉９０°時，可出現等腰直角三角形，當三角形繞某一頂點旋轉６０°時，可出現等邊三角形. 綜合運用等邊三角形、全等三角形的性質和勾股定理的逆定理，尋找解題方法. 于是可把陌生問題轉化為熟悉問題，把復雜問題轉化為簡單問題.

二、利用旋轉，計算線段長度問題

例２ 如圖３，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ（ＢＣ ＞ ＡＤ），∠Ｄ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ １２，∠ＡＢＥ ＝ ４５°，若ＡＥ ＝ １０. 求ＣＥ的長度.

解析 經觀察，把△ＢＣＥ繞點Ｂ順時針旋轉９０°，可構成一個正方形，然后通過三角形全等，找出邊之間的關系.

延長ＯＡ，把△ＢＣＥ繞點Ｂ順時針旋轉９０°，與ＤＡ的延長線分別交于點Ｇ，點Ｍ（如圖４），易知四邊形ＢＣＤＧ為正方形.

∴ ＢＣ ＝ ＢＧ.

又∠ＣＢＥ ＝ ∠ＧＢＭ，

∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＢＭＧ，

∴ＢＭ ＝ ＢＥ，∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＢＭ ＝ ４５°，

∴△ＡＢＥ ≌ △ＡＢＭ，

∴ ＡＭ ＝ ＡＥ ＝１０.

設ＣＥ ＝ ｘ，

則ＡＧ ＝ １０ － x，ＡＤ ＝ １２ － （１０ － x） ＝ ２ ＋ x，ＤＥ ＝ １２ － x.

在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＥ２ ＝ ＡＤ２ ＋ ＤＥ２，

即１０２ ＝ （x ＋ ２）２ ＋ （１２ － x）２.

∴ x２ － １０x ＋ ２４ ＝ ０，

∴ x１ ＝ ４，x２ ＝ ６.

∴ ＣＥ的長為４或６.

三、通過旋轉，巧算面積問題

例３ 把兩個全等的等腰直角三角板ＡＢＣ和ＥＦＧ（其直角邊均為４）疊放在一起（如圖５），且使三角板ＥＦＧ的直角頂點Ｇ與三角板ＡＢＣ的斜邊中點Ｏ重合，現將三角板ＥＦＧ繞點Ｏ按順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：0° < a < 90°），四邊形ＣＨＧＫ是旋轉過程中兩三角形的重疊部分（如圖６）．

（１）在上述旋轉過程中，ＢＨ與ＣＫ有怎樣的數量關系？四邊形ＣＨＧＫ的面積有何變化？請證明你的發現．

析解 在上述旋轉過程中，ＢＨ ＝ ＣＫ，四邊形ＣＨＧＫ的面積不變. .

證明 ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，Ｏ為斜邊中點，

∴ ＣＧ ＝ ＢＧ，ＣＧ⊥ＡＢ，∴∠ＡＣＧ＝∠Ｂ ＝ ４５°，

∵ ∠ＢＧＨ與∠ＣＧＫ均為旋轉角，

∴ ∠ＢＧＨ＝∠ＣＧＫ，因此△ＣＧＫ可以看作是由△ＢＧＨ繞點Ｏ順時針旋轉而得，故ＢＨ ＝ ＣＫ，S△CGK = S△BGH，

∴ S即四邊形ＣＨＧＫ= S△CGK + S△CGH = S△BGH + S△CGH=S△ABC =×× 4 × 4 = 4.

即四邊形CHGK的面積在旋轉過程中沒有變化，始終為４．

點評 在本例中，利用旋轉變換的特征，將不規則陰影部分的面積轉化為規則圖形的面積，實現了特殊到一般的轉化，體現了一個重要的數學思想——轉化思想.

我們知道，圖形的旋轉變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，故解題時可充分利用圖形的旋轉變換的這一特點，把圖形位置進行改變，從而達到優化圖形結構，進一步整合圖形〔題設〕信息的目的，使較為復雜的問題得以順利求解.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”