例說立體幾何證明題的幾種評講方法

一、問題提出

新的課程標準實施以來，立體幾何部分的課時變少了，難度變低了，但培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力仍然是該部分內(nèi)容的重要教學(xué)目標.這方面能力的考查在近幾年的江蘇省高考試題中也有充分的體現(xiàn).如：2008年至2011年連續(xù)四年，江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的第16題均涉及立體幾何證明，題目難度雖然不大，但有不少學(xué)生由于證明不夠規(guī)范，失分不少.主要問題是學(xué)生在證明過程中論據(jù)不足甚至缺少論據(jù).不少學(xué)生在有了一定的空間觀念，知道了該部分的幾個重要定理的情況下卻屢屢出錯.究其原因，除了對定理不夠熟悉（如部分學(xué)生對定理的條件和結(jié)論把握不清）之外，在證明的規(guī)范性方面學(xué)生很欠缺.

二、采用的方法

本文嘗試通過幾種有效的習(xí)題評講方法，提高學(xué)生立體幾何題證明的規(guī)范性水平.

1.“曝光”法

立體幾何證明部分的作業(yè)批改起來是很費力的.學(xué)生的錯誤也是五花八門，但也有共性，一部分學(xué)生是定理掌握不熟，這部分學(xué)生可以加強他們對定理的理解和記憶.還有很大一部分學(xué)生是證明過程中論據(jù)不足，也就是我們常說的少條件，推理不嚴謹，證明不夠規(guī)范，對于這一部分學(xué)生筆者采用“曝光”的方法——把學(xué)生的典型錯誤曝光在黑板上或者用投影儀投影在屏幕上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，糾正錯誤，給出避免類似錯誤的方法，收到了較好的效果.

案例1

題目如圖1，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點．求證：平面PAC⊥平面PBC．

師：這道題錯誤較多，下面將A同學(xué)的證明過程“曝光”如下.

圖1證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，

∴AC⊥BC.

∵PA垂直于⊙O所在的平面，

∴PA⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

∴平面PAC⊥平面PBC．

師：請同學(xué)們指出A同學(xué)證明中存在的問題.

B同學(xué)：A同學(xué)的證明中，第一個“因為、所以”之間是對的，但后面的都有問題.

師：是的，那請你到黑板上來給他訂正，其他同學(xué)考慮你怎樣給A同學(xué)改錯，B同學(xué)訂正的是否正確.

B同學(xué)：（用紅粉筆訂正如下）

證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，

∴AC⊥BC.

∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC⊙O所在的平面，

∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC.又∵BC平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

師：大家看B同學(xué)訂正的怎么樣？（學(xué)生回答：很好了.）

我們怎樣做可以避免A同學(xué)所犯的錯誤呢？

C同學(xué)：A同學(xué)主要錯誤在于使用定理時，條件不足(論據(jù)不充分)，可能心里知道這些條件，但沒有在證明過程中呈現(xiàn)出來.所以我認為A同學(xué)首先應(yīng)該熟記線面關(guān)系的幾個重要的性質(zhì)定理及判定定理，然后在證明時要時刻對照相關(guān)定理的條件與結(jié)論.

師：說得很好，很有道理.我們再請A同學(xué)說說自己的想法，A同學(xué)你認為你怎樣避免類似錯誤呢？

A同學(xué)：C同學(xué)說得很好，我想在使用有多個條件的定理時，應(yīng)該格外小心，這時容易少條件.

……

采用這種“曝光”的方法，把錯誤展現(xiàn)給學(xué)生，把糾錯的機會讓給學(xué)生，把糾錯后的反思留給學(xué)生，能夠充分地調(diào)動學(xué)生參與課堂的熱情，有利于提高習(xí)題評講課的效果.

2.“對比”法

根據(jù)近兩年的新課標高考要求，立體幾何部分的證明為B級要求，以平行和垂直關(guān)系的證明、探究為主，難度不大，因此熟知定理、證明規(guī)范是學(xué)生得分的關(guān)鍵.筆者在習(xí)題評講上采用了不規(guī)范與規(guī)范對比的方法，使學(xué)生意識到規(guī)范證明、推理嚴謹?shù)闹匾裕瑢μ岣邔W(xué)生證明的規(guī)范性有一定的幫助.

案例2

圖2題目如圖2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求證：EF∥平面ABC.（部分）

教師讓兩名學(xué)生板演（教師可故意請出證明規(guī)范和不規(guī)范的兩名學(xué)生），兩名同學(xué)分別板演如下.

D同學(xué)：證明∵E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，

∴EF∥BC，EF∥平面ABC.

E同學(xué)：證明∵E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，

∴EF為△A1BC的中位線.則

EF∥BC

BC平面ABCEF∥平面ABC.

師:請同學(xué)們對上面兩位同學(xué)的證明過程作出評價，誰的證明較好，為什么？

F同學(xué)：E同學(xué)的證明較好，思路很清晰，推理嚴謹，看起來也很美觀.D同學(xué)的證明過程，缺少條件，如果考試的話會丟大部分的分.

……

通過規(guī)范證明與不規(guī)范證明的對比，讓學(xué)生作出評價，作出選擇，使學(xué)生自覺的向規(guī)范證明的方向努力，從而提高學(xué)生推理論證的能力.

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