淺談圓錐曲線弦的問題

【摘要】直線與圓錐曲線相交時，經常涉及直線被圓錐曲線截得的弦的問題，常見的有任意弦、焦點弦和中點弦，現在我們把這類問題進行歸納總結，找出其一般規律，在解題時加以應用，往往會起到事半功倍的效果.

【關鍵詞】曲線弦；歸納總結；一般規律

問題已知直線l:y=kx+m與二次曲線f(x，y)=0相交于不同兩點P，Q，將直線方程代入方程f(x，y)=0消元得關于x的方程Ax2+Bx+C=0(A≠0)，且Δ＝B2-4AC>0，設方程的兩個根分別是xP，xQ.

一、任意弦長

任意弦PQ的長：|PQ|=1+k2|xP-xQ|=1+k2#8226;Δ|A|.

若整理成關于y的方程Ay2+By+C=0，則|PQ|=1+1k2|yP-yQ|)=1+1k2#8226;Δ|A|

二、焦點弦長

1.若直線l過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點，則|PQ|＝2a-e|xP+xQ|.

當直線的斜率不存在時，|PQ|min=2b2a（焦點到相應準線距離的2倍）；

當直線的斜率k=0時，|PQ|max=2a（長軸的長）.

2．若直線l過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一個焦點，則：

（1）若P，Q是同一支上的兩點，即直線斜率k滿足|k|>ba，則|PQ|=e|xP+xQ|-2a;且當斜率不存在時，|PQ|min=2b2a（焦點到相應準線距離的2倍），|PQ|不存在最大值.

（2）若P，Q是異支上的兩點，即直線斜率k滿足|k|

3．若直線l過拋物線y2=2px（p>0）的焦點，則|PQ|＝p+xP+xQ.

當斜率不存在時，|PQ|min=2p(焦點到準線距離的2倍)，|PQ|不存在最大值.

三、中點弦方程與弦長

1.已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的弦PQ的中點M(x0，y0)，則必有x20a2+y20b2<1.

(1)弦PQ所在的直線方程為x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2.

(2)弦PQ的長：|PQ|=2b2x20a2+a2y20b2#8226;1x20a2+y20b2-1.

2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的弦PQ的中點M(x0，y0)（M不在原點），則必有x20a2-y20b2<-或x20a2-y20b2>1.

(1)弦PQ所在的直線方程為x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2.

(2)弦PQ的長：|PQ|=2b2x20a2+a2y20b21-1x20a2-y20b2.

說明(1)在中點弦直線方程中，方程左邊相當于把曲線方程里的x2換成x0x，y2換成y0y，右邊直接把中點坐標代入相應曲線方程.

(2)在弦長公式中先計算出x20a2，y20b2，再代入公式，公式中前一個根式相同，后一個根式中的被開方式的分母直接把中點坐標代入.