一道國外競賽題的多角度探究

【摘要】本文試對一道國外競賽題進行多角度的探究.

【關鍵詞】向量；復數；三角函數；解析幾何；探究

問題在長、寬分別為7和8的矩形內，放置了如圖1的5個大小相同的正方形，求正方形的邊長.

圖1 圖2 圖3 圖4

解如圖2，以B為原點，BC、BA為坐標軸建立直角坐標系.

設PQ=（a，-b），則PR=（b，a）．

PT=3PQ+PR=(3a+b，a-3b)，SU=-2PQ+3PR=(-2a+3b，3a+2b)，

得方程組7=3a+b，

8=2b+3a.解出a=2，

b=1.

所以，正方形的邊長為|PQ|=a2+b2=5．

以上內容摘自《日本奧賽選拔初試中的幾何問題選》（袁桐《數學教學》），上面解法是利用向量知識來求解，此外本題還可以從復數、三角函數和解析幾何的角度進行探究.

1.從復數的角度探究

平面向量與復數是高中數學的重要內容，聯系緊密.隨著知識的發展，相互對應相互促進是聯系的主要體現.復數中的概念、運算等在向量中可以作出幾何解釋；向量的運算，可以對應有關的復數運算.

解如圖2，以B為原點，BC、BA為坐標軸建立直角坐標系.

設PQ對應的復數為z1=a+bi(a，b∈R)，

則PR對應的復數為z2=i(a+bi)=-b+ai，

∴PT對應的復數為z3=3z1+z2=(3a-b)+(3b+a)i，

∴3a-b=7（1）

∴SU對應的復數為z4=3z2-2z1=(-3b-2a)+(3a-2b)i，

∴3a-2b=8（2）

由（1）（2）解得a=2，b=-1.

∴正方形的邊長為a2+b2=5.

解后反思利用復數與平面向量的聯系，由向量向復數表示上的轉化，其特點是：轉化為復數問題后能構造出復數的某些結論或某些代數公式，從而通過它們去實現目標完成.這樣，借復數之力去解決相關問題，有返璞歸真之感.

2.從三角函數角度探究

三角函數是以角為自變量的函數，它作為一種工具和其他知識如向量、幾何、解三角形等知識聯系密切.在以幾何圖形為背景的題目中，往往通過設角建立三角式，進行三角變換轉化為三角函數問題來解決.

解如圖3，作VM⊥AB，垂足為M，VN⊥BC，垂足為N，

RO⊥AD，垂足為O，RW⊥DC，垂足為W.

設∠APU=θ，小正方形邊長為a(a>0).

易得AP=2acosθ，PM=2asinθ，MB=acosθ.

由AP+PM+MB=AB，得

2acosθ+2asinθ+acosθ=8，

即3acosθ+2asinθ=8.（1）

同理：AO=asinθ，OD=3acosθ.

由AO+OD=AD，得

asinθ+3acosθ=7.（2）

解（1）（2）兩式，得

cosθ=2a，

sinθ=1a.由sin2θ+cos2θ=1可得a=5.

解后反思恰當地設角，引進三角函數可以簡化問題的解決過程.這正是三角函數的魅力所在.

3.從解析幾何角度探究

平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特征，但是解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”.

解建立如圖4所示的直角坐標系，設小正方形邊長為a(a>0)，則U(-a，2a)，P(-a，0)，Q(2a，a)，S(a，-a).

設直線AD的斜率為k(k>0)，可得lAD∶y=kx+ka+2a;

lBC∶y=kx-ka-a；lAB∶y=-1kx-1ka；lDC∶y=-1kx+2ka+a.

由AB=8，得|2ka+3a|1+k2=8.（1）

由BC=7，得3ka+a1+1k2=7.（2）

求解（1）（2）兩式可得k=12，

a=5.

解后反思：充分利用圖形的直觀性和平面幾何相關知識來解答問題，體現出數形結合的思想方法.

數學教學離不開解題，激發學生對解題的興趣，提高解題教學的效率，是值得研究的一個重要課題.實踐讓我們深切地體會到：在課堂教學中實施多角度的探究，根據內容選擇和運用不同的探究方法，有助于學生體驗探究的過程、感受成功的樂趣.

【參考文獻】

袁桐.日本奧賽選拔初試中的幾何問題選［J］．數學教學，2008(2).