高中數學教學中分類討論思想運用問題的闡述

【摘要】分類討論思想是一種重要的數學思想和解題策略，它是教學的重難點，同時也是高考的熱點.加強對分類討論思想的運用，能使學生的思維更嚴密、更嚴謹、更靈活，有效地提高學生的數學能力.

【關鍵詞】高中數學；分類討論；運用

分類討論是一種重要的數學思想方法.分類討論問題已成為高考的“寵兒”，運用分類討論思想解決分類討論問題有利于對學生知識和能力進行全面考查.分類討論問題覆蓋的知識點較多，解答題目時需要一定的分析能力，又常常與實際問題和高等思想相結合.教師一定要重視數學教學中的分類討論思想，在教學中促進學生數學知識和思維能力的提高.

一、分類討論思想的概念

在數學題中，每個結論都有其成立的條件，每一種數學方法也有它自己的適用范圍.在數學問題中，當問題所給出的對象不能夠用統一的形式進行研究的時候，就需要以一定的標準、按照不同情況對其進行分類研究，轉化成若干類小問題，并得出每一類的結論，最后綜合每一類的結果，找到整個問題的答案.這個過程就叫做分類討論，這種思想稱為分類討論思想.

二、哪些問題需要進行分類討論

1.數學中有一些概念、性質、定理、公式、法則是分類的定義或分類討論所給出的，如實數的絕對值、直線與平面所成的角、完全平方式的算術根等，這些數學的概念都是分類定義的，在運用它們時需進行分類討論.

例1若logx12<1，則x的取值范圍是（）.

A.12，+∞B.12，1

C.0，12∪(1，+∞)D.0，12∪12，+∞

分析我們知道，對數函數的單調性是由x∈(0，1)和x∈(1，+∞)這兩種情況來確定的，因而如果從對數函數單調性的角度來解答，也應分兩種情況：①即當x>1時，函數為增；②當0

2.某些數學概念、數學公式有范圍和條件限制，當解題過程的變換需突破這些范圍或限制條件時，必然要分類討論.研究含參數的方程、函數不等式等問題時，由參數值的大小的變化而導致結果的變化，也需要分類討論，如異面直線所成角、反正弦的主值、等比數列前n項和公式等.

例2已知-π6≤β＜4，3sin2α-2sin2β=2sin2α，試求sin2β-12sin2α的最小值.

分析本題要注意隱含條件對結果的制約作用，將整體化為部分，經分類討論解答后可得函數y=sin2β-12sin2α的最小值是-29.

3.在推理過程中，如果遇到數量大小的不確定，圖形位置或形狀不確定時，必須要用分類討論來保持解題結果的完整性，如幾何圖形中由于圖形的變化或形狀不確定，使問題結果具有多種可能性.

例3與空間不共面的四個點距離相等的平面共有()個.

A.7B.6C.5D.4

分析由空間四點不共面可知它們不可能都位于某一平面的同一側，滿足條件的平面可以分為兩類：①將已知的四點隔成一側3個，另一側1個，這樣的平面有4個；②將已知的四點隔成每側各有兩個，這樣的平面有3個.綜上可知答案為A.

4.在某些問題中，運算的實施需要一定條件，如除法中必須滿足除數不為零，開偶次方被開方式必須非負，對數運算的真數必須大于零，等等，當需要實施這些運算時就要考慮用分類討論.另外在某些問題中，能滿足已知條件的不止一種，需要對所有的可能情況進行分類討論.

例4若A={x|x2+(m+2)x+1=0，x∈R}，且A∈R+=(空集)，則實數m的取值范圍為().

A.m≤-2B.m≥-2

C.m>-4D.m≥0

分析由A∈R+=，可知方程x2+(m+2)x+1=0沒有正根，可能情況有兩種：①方程沒有實根;②有實根但沒有正根.分別從（m+2）2-4<0和（m+2）2-4≥0來解，得出答案為C.

三、分類討論的方法和步驟

1.確定分類的對象和標準

分類的對象是指使問題變幻不定的因素，分類標準就是使變幻不定的問題轉化為相對穩定的問題的分類界值.分類討論的第一步是要確定分類的對象和分類的標準，要確定分類討論的對象和分類標準，必須要首先明確引起討論的原因是什么.

2.依據分類的原則進行科學分類

分類討論思想實際上就是邏輯劃分，是將整體化為部分來解決問題的數學思想方法.用分類法來解題時，必須保證分類時不重不漏，并力求最簡.設全域為集合A，每一種分類都是集合A的子集，那么把所有子集相并，必然等于集合A；任意子集相交，必然為空集.

3.逐類討論、求解，注意分類的層次性

當一次分類不能解決問題或討論的對象為兩個以上時，必須進行多層次分類.每一層次的分類必須要有各自統一的分類標準.另外，在同一次討論中，只能確定一個標準.

4.進行結論的歸納和總結，得出最終答案

分類討論結論的歸納有三種方式：并列歸納.并集歸納和交集歸納.并列歸納是將討論的結果用并列復句的形式給出；并集歸納是對每一類歸納的結果求并集并作為最后的結論；交集歸納是對每一類歸納的結果求交集作為最后的結論.

例5設M={x|x2+4x=0}，N={x|x2+2(b+1)x+b2-1=0}，若M∩N=N，求b的值.

解由已知得，M={0，-4}.

∵M∩N=N，

∴NM.

按集合N中所含元素的個數分類:

(Ⅰ)若N=，則4(b+1)2-4(b2-1)<0，解得b<-1.

(Ⅱ)若集合N含有一個元素：

①當N={0}時，則b2-1=0，得b=±1.

當b=1時，N={x|x2+4x=0}={0，-4}；

當b=-1時，N={x|x2=0}={0}.

∴b=-1.

②當N={-4}時，則b2-8b+7=0，解得b=1或b=7.

當b=1時，N={0，-4}，此類無解；

當b=7時，N={x|x2+16x+48=0}={-12，-4}.

(Ⅲ)若集合N中含有兩個元素即N={0，-4}，此時解得b=1.

綜上，b≤-1或b=1.

四、如何在教學中滲透分類討論思想

1.充分挖掘數學教材中的分類討論思想

數學是思想方法和知識的結合，兩者缺一不可.教材中很多地方包含了分類討論問題，教師要充分挖掘蘊含在教材中的分類討論思想，并予以闡述、揭示和強調，引起學生對這種數學思想的重視.

2.在解題指導中突出分類討論思想方法的運用

教師是教學過程的主導，教師有效地指引對學生數學思想和能力的形成具有不可估量的作用.“中學數學的首要任務就是加強解題訓練”，解題是培養學生數學能力和思維的重要手段.通過對題目的解決，能夠從中提煉出方法，并上升到思想的高度.

3.在作業中培養學生自覺運用分類討論思想的習慣

“實踐出真知”，作業是學生實踐和鞏固課堂知識的途徑，合理布置作業，能夠激發學生獨立思考，體會題目中蘊含的分類討論思想，獲得成就感，從而養成自覺運用分類討論思想的習慣.

4.在教學過程中加強分類討論思想的培養

分類討論思想的形成和掌握不是一蹴而就的，需要老師在教學過程中循序漸進地指導.在進行概念教學時，老師應讓學生了解概念、結論產生的背景及其運用，理解其基本概念，感悟其中蘊含的數學思想.例如在不等式的關系教學中，有一題：“設a∈R，解關于x的不等式a2x2+2ax-3<0.”可向學生說明，在解此不等式時由于a∈R，因此，不能按一元二次不等式的解法進行求解，因為當a=0時，原不等式化為-3<0，解集為R，因此解題必須應分為a=0與a≠0這兩種情況進行討論.在求出a2x2+2ax-3<0的兩根數值時也需對其進行討論.

【參考文獻】

［1］韓文國.高中數學教學實施素質教育的思考［J］.佳木斯教育學院學報，2010(3).

［2］江春梅.新課程下高中數學教學策略初探［J］.中國校外教育，2010(2).

［3］高玉鳳，鄭樹文.分類討論思想——數學高考新視點［J］.高中數理化，2003(6)

（上接81頁）

（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=an3-2an，證明：bn

解析（1）易得an=1-(1-a1)-12n-1(過程略).

（2）由（1）可知.00.

那么，b2n+1-b2n=a2n+1(3-2an+1)-a2n(3-2an)=3-an223-2×3-an2-a2n#8226;(3-2an)=9an4(an-1)2.

又由（1）知an>0且an≠1，故b2n+1-b2n>0，因此bn

2.用數學歸納法確定an+1與an的大小

例5（2008年浙江卷22題）已知數列{an}，an≥0，a1=0，a2n+1+an+1-1=a2n(n∈N*).記Sn=a1+a2+…+an，Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1（1+a1）(1+a2)…（1+an).求證：當n∈N*時，（Ⅰ）ann-2；（Ⅲ）Tn<3.

證明（Ⅰ）用數學歸納法證明.①當n=1時，∵a2是方程x2+x-1=0的正根，∴a1

②假設當n=k(k∈N*)時，ak

根據①和②，可知an

3.用輔助函數確定an+1與an的大小

例6設定義在R上的函數f(x)與數列{an}滿足：a1>α，其中α是方程f(x)=x的實數根；an+1=f(an);f(x)可導，且f′(x)∈(0，1).（1）證明:an>α;（2）判斷數列{an}的單調性，并證明.

證明（1）用數學歸納法易證，證明略.（2）構造輔助函數g(x)=x-f(x)，則g′(x)=1-f′(x)>0，

∴g(x)在R上是增函數.

由（1）得an>α，∴g(an)>g(α).

又∵g(an)=an-f(an)，g(α)=α-f(α)=0，

∴an-f(an)>0，∴an>f(an)，

即an>an+1，∴{an}為單調減數列.

4.用代換法確定an+1與an的大小

例7設函數f(x)=1+x2，數列{an}滿足a1=13，且an+1=f(an)，試判斷數列{an}的單調性.

解析設a1=13=cosθ，θ∈0，π2.則a2=1+a12=1+cosθ2=cosθ2，a3=cosθ4，…，an=cosθ2n-1，且π2>θ>θ2>θ4>…>θ2n-1>0，

∴cosθ